Другое — не столь широко известное — изложение этой загадки содержится в одной из задач в написанной в XIII столетии книге Леонардо Фибоначчи «Liber Abaci». В этом варианте участвуют семь женщин, а далее все возрастающие количества мулов, мешков, ломтей хлеба, ножей и ножен. Сделанное добавление доводит последовательность до 7 6, так что полное число предметов равно 137 256.

В чем же привлекательность степеней числа семь, обусловливающая их появление в столь различные времена в столь различных контекстах? Каждый из примеров демонстрирует все возрастающее ускорение, характерное для геометрической прогрессии. Стихотворение — это поэтический способ выразить, сколь быстро малые числа способны приводить к большим. При первом чтении вы можете подумать, что там какое-то разумное число котят, кошек, корзинок и жен, — но в действительности их почти три тысячи! Точно так же занимательные задачи из папируса Ринда и «Liber Abaci» выражают то же самое глубокое математическое наблюдение. Причем число 7 — пусть иногда и кажется, что оно уж очень часто возникает в подобных задачах из-за каких-то своих особенных свойств, — само по себе не важно. Стоит несколько раз умножить любое число [41] само на себя, как ответ быстро выходит за пределы ожидаемого.

Даже при перемножении на себя самого меньшего из возможных чисел — числа 2 — ответ устремляется в небеса с головокружительной скоростью. Положим одно пшеничное зернышко на клетку шахматной доски, на соседнюю клетку — два зерна и далее примемся заполнять всю доску, каждый раз удваивая число зерен. Сколько пшеницы тогда окажется на последней клетке? Быть может, несколько грузовиков? Или контейнер? На шахматной доске 64 клетки, так что нам надо выполнить удвоение 63 раза, что означает число 2, умноженное само на себя 63 раза, или 2 63. В терминах пшеничных зерен это число примерно в сто раз превосходит все годовое производство пшеницы в мире. А можно посмотреть и по-другому: если пересчитывать зерна так, чтобы на каждое зерно уходила одна секунда, и при этом начать счет в момент Большого взрыва, случившегося около 13 миллиардов лет назад, то к настоящему моменту вы не дойдете и до десятой доли числа 2 63.

Математические загадки, стихи и игры очень популярны в наши дни. Занимательная математика — широкая и живая область, важнейшее достоинство которой состоит в том, что она доступна целеустремленному непрофессионалу, но при этом может порой затрагивать достаточно сложные элементы теории. Теоретической составляющей может и не быть вовсе, но вместо нее должно присутствовать восхищение перед чудом чисел — подобно нервной дрожи, сопутствующей коллекционированию номерных знаков.

Ключевое событие в истории занимательной математики, как считается, произошло на берегах Желтой реки, Хуанхэ, около 2000 года до н. э. Однажды китайский император наблюдал, как черепаха выползает из воды. То была священная черепаха, с черными и белыми пятнышками на брюхе, которые соответствовали первым девяти числам и образовывали на черепашьем брюхе табличку, которая (если вместо точек подставить арабские цифры) выглядела следующим образом:

Квадрат, который, подобно данному, содержит последовательные числа начиная от 1, причем они расставлены так, что все их суммы по всем строкам, столбцам и диагоналям равны друг другу, называется «магическим». Китайцы называют этот квадрат «ло шу». (В нем все суммы по строкам, столбцам и диагоналям равны 15.) Китайцы верили, что «ло шу» символизирует внутреннюю гармонию Вселенной. Они использовали его для предсказаний будущего и отправлений религиозных обрядов. Например, если начать с 1 и провести линию, соединяющую стоящие в квадрате числа по порядку, то получится узор (см. рисунок), изображающий схему передвижения даосистского жреца по храму. Этот узор, называемый «юбу», также лежит в основе некоторых правил фэн шуй — китайской философии эстетики.

Движение по узору ло шу и даосистское руководство сюбу

Мистическую сторону ло шу разглядели не только в Китае. Магические квадраты представляли объекты большой духовной значимости для индуистов, мусульман, иудеев и христиан. В исламской культуре им нашли наиболее творческое использование. В Турции и Индии девственницам предписывалось вышивать магические квадраты на рубашках воинов. Кроме того, считалось, что если магический квадрат положить на живот роженицы, то это облегчит роды. Индуисты носили амулеты с изображениями магических квадратов в качестве защиты от злых чар, а астрологи эпохи Возрождения сопоставляли их с планетами нашей Солнечной системы. Легко смеяться над склонностью наших предков к оккультизму, однако и современному человеку их очарованность магическими квадратами совершенно понятна. Простые, но при этом со сложной структурой, они подобны числовым мантрам, некоему объекту бесконечного созерцания и сдержанного выражения порядка в нашем совершенно неупорядоченном мире.

Одна из привлекательных черт магических квадратов состоит в том, что они могут иметь любой размер, не обязательно только 3 x 3. Знаменитый пример — квадрат 4 x 4, который использовал в своем творчестве Альбрехт Дюрер. В композицию гравюры «Меланхолия I» он включил квадрат 4 x 4, получивший такую известность потому, что в него встроен год создания гравюры — 1514. На самом деле это сверхмагическийквадрат — в нем не только строки, столбцы и диагонали дают в сумме 34, но также и все комбинации из четырех чисел, отмеченных точками и соединенных в квадратах на рисунке.

Структуры, связанные с этим квадратом, вызывают изумление, и чем дольше смотришь, тем больше их видишь. Сумма квадратов чисел из первой и второй строчек равна 748. То же самое число получается путем сложения квадратов чисел в строках 3 и 4, или квадратов чисел в строках 1 и 3, или же квадратов чисел в строках 2 и 4, или, наконец, квадратов чисел на каждой из диагоналей. Ничего себе!

Не меньшее изумление вызывает то, что получается, если повернуть магический квадрат Дюрера на 180 градусов, а затем вычесть 1 из клеток, содержащих числа 11, 12, 15 и 16. Результат будет таким:

Квадрат, показанный на рисунке, расположен на стене кафедрального собора Саграда Фамилия в Барселоне, построенного по проекту Антонио Гауди. Квадрат Гауди не магический, поскольку два числа в нем повторяются, но и столбцы, и строки, и диагонали в нем все суммируются к числу 33 — возрасту Христа к моменту его смерти.

Немало времени можно провести, забавляясь с магическими квадратами и восхищаясь их структурой и гармонией. На самом деле ни одна другая область непрактической математики не привлекала столько любителей математики на протяжении столь многих лет. В XVIII и XIX веках литература по магическим квадратам расцвела пышным цветом. Одним из самых именитых энтузиастов был Бенджамин Франклин. В молодости он забавлялся составлением магических квадратов, пытаясь скрасить скучные часы на службе в Законодательном собрании штата Пенсильвания. Самый известный его квадрат имеет размер 8 x 8 (см. рис.), и считается, что он придумал его еще мальчишкой.