Рассмотрим следующее квадратичное уравнение, которое на самом деле подобно машине для рисования окружностей и эллипсов:

где аи b —некоторые постоянные. У этой машины два рычажка, один из которых управляет буквой a, а другой — буквой b.Подбирая значения aи b,мы можем по своему желанию нарисовать любую окружность и любой эллипс с центром в точке 0.

Например, когда aсовпадает с b,получающееся уравнение описывает окружность радиуса a.Когда а= b= 1, уравнение принимает вид х 2+ y 2= 1 и получается окружность радиуса 1 — «единичная окружность», как та, что нарисована слева на рисунке. Если же аи b— различные числа, то уравнение описывает эллипс, который пересекает ось xв точке аи ось ув точке b.Например, кривая справа — это эллипс, для которого а =3 и b = 2.

В 1818 году французский математик Габриель Лямэ, размышляя над формулой для окружности и эллипса, задался таким вопросом: что будет, если «подкручивать» не значения aи b,а показатели степени?

Эффект оказался восхитительным. Рассмотрим, например, уравнение х n+ у n= 1. При n= 2, как мы видели, оно порождает единичную окружность. А вот кривые, получаемые при n =2, n= 4 и n= 8:

Когда nравно 4, кривая выглядит как окружность, стиснутая при запихивании в квадратный ящик. Ее стороны уплощаются, но остаются четыре скругленных угла. Как будто окружность пытается стать квадратом. Когда nравно 8, получающаяся кривая еще более походит на квадрат.

На самом деле, чем большее мы выберем число n,тем ближе полученная кривая будет к квадрату. В пределе, когда x + у = 1, уравнение описывает квадрат. (Если что-то и заслуживает названия квадратуры круга, то это как раз тот самый случай.)

В центре Стокгольма расположен Сергелс Торг — многоуровневый торговый центр и транспортный узел. Это широкое прямоугольное пространство, устроенное так, что нижний уровень предназначен для пешеходов, а машины ездят сверху по кругу. Именно там политические активисты любят устраивать различные мероприятия, и именно туда стекаются спортивные болельщики, когда шведская сборная выигрывает какое-то значимое международное соревнование. Визитная карточка этого места — расположенная в центральной части здоровенная скульптура, стоящая там со времен 1960-х годов, предмет ненависти местных жителей — 37-метровый обелиск из стекла и стали, подсвечиваемый по ночам.

В конце 1950-х годов, когда планировщики города проектировали Сергелс Торг, они столкнулись с некой геометрической проблемой. Какова, спрашивали они себя, наилучшая форма для кругового движения в прямоугольном пространстве? Им не хотелось использовать точную окружность, потому что в таком случае прямоугольное пространство было бы задействовано не полностью. Но градостроители также не желали использовать овал и эллипс — несмотря на то, что они лучше заполняют пространство — и в том и в другом случае «заостренные» края препятствовали бы плавному движению транспорта. В поисках ответа архитекторы решили проконсультироваться у зарубежного специалиста и обратились к Питу Хейну (1905–1996). Этот человек некогда считался третьей по известности фигурой в Дании (после физика Нильса Бора и писательницы Карен Бликсен). Пит Хейн изобрел «груки» — короткие афористические стихотворения, которые он публиковал во время Второй мировой войны, считая их одной из форм пассивного сопротивления оккупации Дании нацистами. Кроме того, он был художником и математиком, а потому обладал как раз нужным художественным чутьем, широтой мышления и научным взглядом на мир — сочетание, которое могло бы помочь взглянуть под другим углом на проблему планировки стокгольмского центра.

И Пит Хейн решил с помощью несложных математических вычислений найти форму, которая будет представлять собой нечто среднее между эллипсом и прямоугольником. Для этого он использовал описанный выше метод, только применил его не к окружности, а к эллипсу. Говоря алгебраически, он стал по-всякому изменять значения nв таком уравнении:

Как мы только что видели, если взять окружность и начать увеличивать nот 2 до бесконечности, окружность будет переходить в квадрат. Соответственно, если взять эллипс и начать увеличивать nот 2, эллипс все больше и больше будет приближаться к прямоугольнику. Представим себе эллипс, описываемый приведенным выше уравнением, в котором а= 3 и b =2. Пит Хейн рассудил, что значение n,при котором кривая представляет собой наилучший с эстетической точки зрения компромисс между эллиптической и прямоугольной формами, — 2,5. Соответствующая кривая показана на рисунке. Он назвал эту новую форму суперэллипсом.

Помимо просто изящного математического фрагмента, суперэллипс Пита Хейна затрагивает и более глубокую человеческую тему — повсеместно присутствующий в нашем окружении конфликт между окружностями и прямыми линиями. Он писал по этому поводу: