В общем случае график

= F(), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.

Если кривая

= F(), определяемая соответствующим итерационным соотношением = F(), пересекает прямую = , в точке и |F1()| < 1, то — устойчивая стационарная точка, а если |F1()| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка d = f(. Его общее решение имеет вид.

Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(

, например, при помощи дробно-рациональной функции

можно найти коэффициенты аппроксимации ai, bi, соответствующие экспериментальным данным.

Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(

описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.

Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.

Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(

.

Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид d

= f(1-.

Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки

=0 и = 1. Точка =0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка =0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения — зависимость d от , представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.

В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного — неустойчивого состояния в другое — устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае

< 1 имеет вид.

При стремлении

к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи 0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту = 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.

Этот закон является простейшим законом, описывающим непрерывным образом формирование новых структур.

Существуют и другие дифференциальные уравнения, решения которых дают функции, позволяющие смоделировать плавный переход из одного состояния в другое. В частности, при анализе роста и размножения биологических объектов нами было получено дифференциальное уравнение d

 = - обладающее теми же стационарными точками, что и логистическое уравнение, но позволяющее вместе со своим аналогом, итерационным соотношением со степенной правой частью единым образом описывать рост и размножение объектов.

Во многих случаях процесс роста сложных систем происходит не непрерывно, а путём размножения элементов системы или поглощения растущей системой новых элементов. Если скачки параметра целого малы, то в первом приближении этот дискретный процесс может быть заменён непрерывным, и для его описания может быть использован аппарат дифференциальных уравнений, в противном случае для описания динамики роста и стабилизации структур может быть использован аппарат итерационных соотношений.

Устойчивые стационарные точки фазовой плоскости или графика, представляющего решение системы итерационных соотношений, обычно являются пределом, к которому стремятся фазовые траектории системы. Такие точки называются аттракторами.

Аттракторами могут быть не только устойчивые стационарные точки, но и замкнутые траектории циклического типа (циклы и торы). В последние годы открыты и в настоящее время интенсивно изучаются ациклические аттракторы, названные странными.

Следующим этапом исследования является численное решение полученных уравнений. Численное решение совместно с качественным анализом позволяет строить не только зависимость меры от времени, которая была в прошлом, и сопоставить полученные данные с результатами наблюдений, но и предсказывать характер этой зависимости, которого следует ожидать в будущем.