Однако древние египтяне были весьма искусными математиками. Они умело вели астрономические наблюдения и следили за временем, а это означало, что им была нужна развитая математика — из-за переменчивой природы календаря.

Создание надежного календаря было проблемой для большинства древних цивилизаций, потому что они обычно начинали с календаря лунного: длительность месяца определялась как промежуток между двумя полнолуниями. Это был естественный выбор: убывание и рост луны на небе трудно не заметить, и это дает удобный способ отмечать периодически повторяющиеся циклы. Однако длительность лунного месяца — между двадцатью девятью и тридцатью днями. Как бы вы их ни располагали, двенадцать лунных месяцев дают 354 дня — примерно на одиннадцать меньше, чем длится солнечный год. Тринадцать лунных месяцев дают девятнадцать лишних дней. Поскольку именно солнечный, а не лунный год определяет время сева и жатвы, сезоны смещаются, если пользоваться неуточненным лунным годом.

Корректировка лунного календаря — дело сложное. Некоторые современные страны, такие как Израиль и Саудовская Аравия, все еще пользуются модифицированным лунным календарем, но шесть тысяч лет назад египтяне пришли к лучшему решению. Они нашли более простой способ и создали календарь, верно указывавший сезоны на протяжении многих лет. Вместо того чтобы следить за течением времени, наблюдая за луной, они использовали солнце, как это делает большинство современных народов.

Египетский календарь состоял из двенадцати месяцев, как и лунный, но каждый месяц длился тридцать дней. (Поскольку они пользовались десятеричной системой, неделя у египтян — декада — длилась десять дней.) В конце года календарь включал пять дополнительных дней, что в сумме давало 365 дней в году. Это предок нашего собственного календаря; египетскую систему восприняли греки, а потом Рим, где она была усовершенствована введением високосных годов. Так возник стандартный календарь западного мира. Однако, поскольку у египтян, греков и римлян не было ноля, не имеет ноля и западный календарь — недостаток, который через тысячелетия создал много проблем.

Придуманная египтянами новинка — солнечный календарь — была прорывом в знании, но они оставили и более важный след в истории: изобрели геометрию. Даже не имея ноля, египтяне скоро стали мастерами в математике. Им пришлось ими стать из-за грозной реки: Нил каждый год выходил из берегов и затоплял дельту. Это было благом — разлив приносил на поля богатый аллювиальный ил, делая долину Нила самой богатой земледельческой областью древнего мира. Однако река уничтожала межи, стирая все границы между полями, и крестьяне не знали, какие участки им возделывать. (Египтяне очень серьезно относились к правам собственности: согласно Книге мертвых, умерший должен был поклясться богам, что не обманывал соседа, захватив его землю, иначе за прегрешение сердце виновного скармливалось страшному чудовищу, именуемому Пожирающим. Захват чужой земли считался в Египте не менее тяжким преступлением, чем нарушение клятвы, убийство или мастурбация в храме.)

Древние фараоны назначали землемеров для оценки ущерба и восстановления разметки полей — так и родилась геометрия. Землемеры, или натягиватели веревок (называвшиеся так по своим измерительным приспособлениям: веревкам с узлами, благодаря которым можно было определить прямой угол), со временем научились определять площадь участков земли, разделяя их на прямоугольники и треугольники. Египтяне также научились измерять объемы объектов — таких, как пирамиды. Египетские математики были знамениты по всему Средиземноморью; вероятно, древнегреческие геометры — Фалес и Пифагор — учились в Египте. Однако несмотря на блестящие достижения, ноль в Египте так и не появился.

Причина была отчасти в том, что египтяне интересовались только практической стороной дела. Они так и не пошли дальше измерения объемов и подсчета дней и часов. Математика не использовалась для чего-либо отвлеченного, если не считать астрологии. В результате даже лучшие египетские математики не могли использовать принципы геометрии там, где это не было связано с реальным миром: они не превратили свою математическую систему в абстрактную систему логики. Они также не соотносили математику с философией. Греки отличались от египтян тем, что пользовались абстракциями и философскими категориями; они довели математику до ее верхней точки в древности. Однако не греки открыли ноль. Ноль пришел с Востока, а не с Запада.

Греки понимали математику лучше египтян. Овладев египетским искусством геометрии, они быстро превзошли своих учителей.

Сначала греческая система чисел была очень сходна с египетской. Греки тоже использовали как основу число 10, и в том, как две культуры записывали числа, разница была невелика: вместо рисунков, как египтяне, греки для обозначения чисел использовали буквы. Буква «» («эта») обозначала hekaton — «сто»; «М» («мю») — myriory — «десять тысяч» («мириада» — самый большой разряд в греческой системе). У греков был также символ для числа 5, что указывало на смешение пятеричной и десятеричной систем, в целом же греческая и египетская системы записи чисел были почти одинаковы — на некоторое время. Потом греки переросли этот примитивный способ записи чисел и создали более изощренную систему.

Рис. 1. Изображение чисел в различных культурах:

Вместо того чтобы использовать две черточки для обозначения цифры 2 или три «H» для обозначения 300, как это делалось бы в «египетском» стиле, новая греческая система, появившаяся около 500 года до н. э., использовала отдельные значки для изображения 2, 3, 300 и многих других чисел (рис. 1). Таким образом, греки избавлялись от повторения цифр. Например, запись числа 87 в египетской системе требовала бы пятнадцать символов: восемь пяток и семь вертикальных черточек. В новой греческой системе требовалось всего два символа: для 80 и для 7. (Римская система, сменившая греческую, была шагом назад; запись римскими цифрами — LXXXVII — потребовала бы семи символов с несколькими повторениями.)

Хотя греческая система была изощренней египетской, она не обеспечивала самого прогрессивного способа записи чисел в древнем мире. Эта честь принадлежит другому восточному изобретению: вавилонскому способу счета. Благодаря этой системе на Востоке, в Плодородном полумесяце, появился ноль.

На первый взгляд, вавилонская система представляется извращенной. Во-первых, она шестидесятерична — имеет в основе число 60. Такой выбор кажется странным, особенно если учесть, что большинство человеческих обществ выбирали в этом качестве числа 5, 10 или 20. Во-вторых, вавилоняне использовали только два значка для изображения чисел: клинышек, обозначавший единицу, и двойной клинышек, обозначавший десять. Группы этих значков, объединенных в семейства, содержащие 59 или меньше значков, были базовыми символами системы чисел, так же, как греческая система использовала буквы, а египетская — рисунки. Однако действительно странной особенностью вавилонской системы было то, что вместо использования разных символов для каждого числа, как в египетской и греческой системах, каждый символ мог изображать множество разных чисел. Единственный клинышек, например, мог изображать 1, 60, 3600 и сколько угодно других чисел.