Постулаты 1 и 2 вполне совпадают, похоже, с нашим житейским опытом. По ощущениям — да, мы понимаем, как нарисовать отрезок между двумя точками, и никогда не утыкались ни в какие препятствия в конце пространства, которые не дали бы нам продолжить прямую. Третий постулат несколько мудренее: он предполагает, что расстояния в пространстве заданы так, что длина отрезка при перемещении его с места на место не меняется, где бы ни рисовали круг. Четвертый постулат на вид прост и очевиден. Чтобы постичь его тонкости, вспомним определение прямого угла: это возникающий при пересечении двух прямых угол, равный всем остальным возникшим. Мы такое видели много раз: одна линия перпендикулярна другой, и все углы со всех сторон равны 90°. Но само определение этого не утверждает — оно даже не говорит нам о том, что значение этих углов всегда одно и то же. Можем вообразить мир, в котором эти углы будут равны 90°, если линии пересекаются в некой заданной точке, а если в какой-нибудь другой, то углы получатся другие. Постулат, утверждающий, что все прямые углы равны между собой, гарантирует, что такого быть не может. Это означает в некотором смысле, что линия выглядит одинаково по всей длине — своего рода условие прямизны.

Пятый же постулат Евклида, называемый постулатом параллельности, не настолько очевиден — в отличие от остальных. Это личное изобретение Евклида, а не часть великого корпуса знаний, который он документировал. Но ему, со всей очевидностью, собственная формулировка не нравилась — он изо всех сил старался избегать ее. Позднейшие математики ее тоже невзлюбили: она была недостаточно проста для постулата и требовала доказательства, как теорема. Вот она, в стиле, близком к оригиналу:

Постулат параллельности (стр. 61) предлагает проверочный критерий тому, сходятся две расположенные на одной плоскости прямые, расходятся или параллельны. Рисунок в этом смысле очень помогает пониманию.

Существует множество разных, но эквивалентных друг другу формулировок постулата параллельности. Одна особенно наглядно демонстрирует то, что постулат говорит нам о пространстве:

Постулат параллельности может быть нарушен в двух случаях: несуществование параллельных прямых вообще или существование более чем одной линии, проведенной через данную точку параллельно данной прямой.

Нарисуйте на бумаге прямую, поставьте где-нибудь вне ее точку. Как на ваш взгляд — возможно ли, что провести ни одной параллельной линии через эту точку не удастся? А больше одной — возможно? Описывает ли постулат параллельности наш мир? Вообразима ли геометрия, в которой этот постулат можно нарушить — и при этом остаться в пределах математического смысла? Два последних вопроса в конце концов подвели нас к революции мышления: первый — в наших представлениях о Вселенной, второй — в понимании природы и смысла математики. Но 2000 лет подряд ни в одной области человеческого знания практически не существовало представления более общепринятого, чем «факт», зафиксированный в постулате Евклида: есть одна и только одна параллельная прямая.

Евклид — первый великий математик в длинной и, увы, обреченной череде александрийских ученых. Македоняне [58] — греки, обитавшие на севере континентальной Греции, — в 352 году до н. э. начали покорение и объединение эллинских земель под властью Филиппа II Македонского. После разгромного поражения афинские властители в 338 году до н. э. подписали мир на условиях Филиппа, фактически отказавшись от независимости греческих городов-государств. Всего два года спустя, посещая официальную церемонию, на которой была представлена статуя Филиппа в образе нового бога Олимпа, сам Филипп пал жертвой паршивой кадровой политики: его убил один из телохранителей. Его сын Александр — который Великий, — двадцати лет отроду, принял бразды правления.

Александр высоко ценил знания — возможно, благодаря либеральному образованию, в котором геометрия играла важную роль. Он с почтением относился к чужестранным культурам, чего нельзя сказать о его отношении к их независимости. Вскоре он покорил остальную Грецию, Египет и Ближний Восток вплоть до Индии. Александр поддерживал межкультурное общение и смешанные браки, и сам женился на персиянке. Посчитав, что одного личного примера недостаточно, он повелел и всем македонским вельможам тоже взять в жены по персидской женщине [59] .

В 332 году до н. э. в центре свой империи Александр взялся строить роскошную столицу — Александрию. В этом отношении император был Уолтом Диснеем своего времени: ему представлялась тщательно «спланированная» метрополия, центр культуры, торговли и управления. Даже проектируя бульвары Александрии, император словно бы делал математическое заявление: его архитектор устроил из них сетку, что само по себе занятное предвосхищение геометрии координат, которую не изобретут еще восемнадцать веков.

Александр скончался от неведомого недуга через девять лет после начала строительства — и до того, как возведение великого города завершилось. Империя его распалась, но Александрию все-таки достроили. Геометрия города оказалась вполне благоприятной: он стал центром греческой математики, науки и философии после того, как македонский военачальник по имени Птолемей подмял под себя египетский край империи Александра. Сын Птолемея, изобретательно названный Птолемеем II, когда пришло его время править, построил в Александрии громадную библиотеку и музей. Термин «музей» возник оттого, что эту постройку посвятили семи музам, но по сути это был исследовательский институт, первое государственное научное учреждение в мире.