Шрифт:
Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен
(2.42)
Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется теплопроводностью.
(2.43)
где Ds — толщина плиты. Но DJ/DA мы раньше определили как абсолютную величину h — вектора, направленного туда, куда течет тепло. Тепло течет от T1 + DT к T1,так что вектор h перпендикулярен изотермам (фиг. 2.7, б). Далее, DТ/Ds как раз равно быстроте изменения Т с изменением положения. А поскольку изменения положения перпендикулярны изотермам, то наше AT/As — это максимальная скорость изменения. Она равна поэтому величине у Т. И, наконец, раз направления СТ и h противоположны, то (2.43) можно записать в виде векторного уравнения
h = - cСТ. (2.44)
(Знак минус написан потому, что тепло течет в сторону понижения температуры.) Уравнение (2.44) — это дифференциальное уравнение теплопроводности в массиве вещества. Вы видите, что это чисто векторное уравнение. С обеих сторон стоят векторы (если x число). Это обобщение на произвольный случай частного соотношения (2.42), верного для прямоугольной плиты.
Мы с вами должны будем научиться выписывать все соотношения элементарной физики [наподобие (2.42)] в этих хитроумных векторных обозначениях. Они полезны не только потому, что уравнения начинают от этого выглядетъ проще. В них намного яснее проступает физическое содержание уравнений безотносительно к выбору системы координат.
§ 7. Вторые производные векторных полей
Пока мы имели дело только с первыми производными. А почему не со вторыми? Из вторых производных можно составить несколько комбинаций:
(2.45)
Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.
Посмотрим сперва на вторую комбинацию (б). Она имеет ту же форму, что и
АX(АT) = (АXА)T = 0, потому что АXА всегда нуль. Значит,
(2.46)
Можно понять, как это получается, если расписать одну из компонент:
что равно нулю [по уравнению (2.8)]. Это же верно и для других компонент. Стало быть, СХ(СT)=0 для любого распределения температур, да и для всякой скалярной функции.
Возьмем второй пример. Посмотрим, нельзя ли получить нуль другим путем. Скалярное произведение вектора на векторное произведение, содержащее этот вектор, равно нулю
А·(АХВ) = 0, (2.48)
потому что АХВ перпендикулярно к А и не имеет тем самым составляющих вдоль А. Сходная комбинация стоит в списке (2.45) под номером (г):
С(СXh) = div(roth) = 0. (2.49)
В справедливости этого равенства опять-таки легко убедиться, проделав выкладки на компонентах.
Теперь сформулируем без доказательства две теоремы. Они очень интересны и весьма полезны для физиков.
В физических задачах часто оказывается, что ротор какой-то величины (скажем, векторного поля А) равен нулю. Мы видели в уравнении (2.46), что ротор градиента равен нулю. (Это легко запоминается по свойствам векторов.) Далее, может оказаться, что А будет градиентом какой-то величины, потому что тогда ротор А с необходимостью обратится в нуль. Имеется интересная теорема, утверждающая, что если ротор А есть нуль, то тогда А непременно окажется чьим-то градиентом; существует некоторое скалярное поле ш; (пси), такое, что A=gradш. Иными словами, справедлива
Т Е О Р Е М А
Если СXА = 0,
то имеется ш, (2.50)
такое, что А = Сш.
. Сходная теорема формулируется и для случая, когда дивергенция А есть нуль. Из уравнения (2.49) видно, что дивергенция ротора любой величины равна всегда нулю. Если вам случайно встретилось векторное поле D, для которого div D — нуль, то вы имеете право заключить, что D это ротор некоторого векторного поля С.
ТЕОРЕМА
Если С·D = 0,
то имеется С, (2.51)
такое, что D = СXC.
Перебирая всевозможные сочетания двух операторов у, мы обнаружили, что два из них всегда дают нуль. Займемся теперь теми, которые не равны нулю. Возьмем комбинацию С· (СT), первую в нашем списке. В общем случае это не нуль. Выпишем компоненты
Далее,
(2.52)
что может, вообще говоря, быть любым числом. Это скалярное поле.
Вы видите, что скобок можно не ставить, а вместо этого писать, не рискуя ошибиться:
(2.53)
Можно рассматривать С2 как новый оператор. Это скалярный оператор. Так как он в физике встречается часто, ему дали особое имя — лапласиан.
(2.54)
Раз оператор лапласиана —оператор скалярный, он может действовать и на вектор. Под этим мы подразумеваем, что он применяется к каждой компоненте вектора
Рассмотрим еще одну возможность: СX(СX h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)