Шрифт:
Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуляция вокруг цилиндра (б) и cyпepрозuция случаев а и б (в).
Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11,6). У такого потока есть циркуляция вокруг цилиндра, хотя СXv в жидкости остается нулем. Но как циркуляция может существовать без ротора?
У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от v по замкнутой петле, охватывающей цилиндр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от v по любому замкнутому пути, который не охватывает цилиндра, будет нулем. Аналогичные вещи встречались нам и раньше, когда мы определяли магнитное поле вокруг проводника. Ротор В был нулем вне провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуляции вокруг цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг провода. Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен
Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от r. Обозначим его через постоянную С и получим
где v — тангенциальная скорость, а r — расстояние от оси. Существует очень хороший способ демонстрации циркуляции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резервуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного раскручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый эффект, который показан на фиг. 40.12.
Фиг. 40.12. Вода с циркуляцией вытекает из резервуара.
(Подобное явление вы наверняка много раз видели в ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость w, она из-за вязкости вскоре затухает и поток становится безвихревым. Однако какая-то циркуляция вокруг трубки все же остается.
Из теории можно вычислить форму поверхности воды в цилиндре. По мере того как частицы движутся внутрь, они набирают скорость. Согласно уравнению (40.20), тангенциальная скорость увеличивается как 1/r — просто благодаря закону сохранения момента количества движения, как у фигуриста, прижавшего руки к телу. Радиальная скорость тоже возрастает как 1/r. Если пренебречь тангенциальным движением, то получится, что вода идет внутрь по радиусу к отверстию, а из уравнения С·v=0 следует, что радиальная скорость пропорциональна 1/r. Таким образом, полная скорость тоже возрастает как 1/г и вода идет по спирали Архимеда. Поверхность вода — воздух целиком находится под атмосферным давлением, так что, согласно уравнению (40.14), она должна обладать свойством
gz+1/2mv2=const.
Ио здесь v пропорционально 1/r, поэтому форма поверхности будет такой:
Обратите внимание на одну интересную особенность, которая наблюдается в случае несжимаемого безвихревого потока (в общем случае ее нет): если у нас есть какое-то одно решение и какое-то второе решение, то сумма их тоже будет решением. Это справедливо потому, что уравнения (40.19) — линейные. Полный же набор гидродинамических уравнений, т. е. уравнений (40.8) — (40.10), не линеен, а это уже совсем другое дело. Однако для безвихревого потока вокруг цилиндра мы можем сложить один поток (фиг. 40.11,а) и другой поток (фиг. 40.11,б) и получить новый вид потока (фиг. 40.11,в). Этот новый поток особенно интересен. Скорость потока на верхней стороне цилиндра оказывается больше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, то возникнет действующая на цилиндр вертикальная сила; она называется подъемной силой. Разумеется, если циркуляция отсутствует, то в соответствии с нашей теорией «сухой» воды для любого тела суммарная сила обращается в нуль.
§ 5. Вихревые линии
Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:
Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вихревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора W, а плотность их в любой области пропорциональна величине W. Из уравнения (II) дивергенция W всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7 (вып. 5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить W. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением W можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по данным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.
Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто закон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым линиям (фиг. 40.13,а).
Фиг. 40.13. Группа вихревых линий в момент t (а) и те же самые линии в более поздний момент t' (б).
Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости будет находиться где-то в другом месте. Вообще говоря, он будет иметь форму цилиндра с другим диаметром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение W на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем
Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без тангенциальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции I на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности W. Момент же инерции цилиндра пропорционален mr2. Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что