Шрифт:
Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы замечали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вращаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласовалась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности).
Сначала мы характеризовали жидкость так, что если приложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предположим, что имеются две плоские твердые пластины, между которыми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин неподвижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой скоростью v0.
Фиг. 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинками.
Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отношению v0/d, где d — расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига F/A пропорционально v0/d:
Коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом вязкости.
Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2).
Фиг. 41.2. Напряжения сдвига в вязкой жидкости.
Силы в этом объеме определяются выражением
Далее, дvx/дy представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.
В общем случае мы пишем
При равномерном вращении жидкости производная дuх/ду равна дvy/дx с обратным знаком, a Sxyбудет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проделывали в гл. 39 при определении еxy.) Разумеется, для Syzи Sгхтоже есть соответствующие выражения.
В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет vа, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна vb(фиг. 41.3).
Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.
Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии rот оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии rот оси, то ее координаты как функции времени будут
x = rcoswt, у=rsinwt,
где w=v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны
vx=-rwsinwt =-wу и vy= rwcoswt=wх. (41.4)
Из формулы (41.3) получаем
Для точек с у=0 имеем дw/ду=0, а х(дw/дх) будет равно r(dw)/dr). Так что в этих точках