Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика
«Фейнмановские лекции по физике» — курс лекций по общей физике, выпущенный американскими физиками — Ричардом Фейнманом, Робертом Лейтоном и Мэттью Сэндсом. Одна из наиболее известных и популяризованных технических работ Фейнмана. Считается канонической интерпретацией современной физики, в том числе её математических аспектов, электромагнетизма, Ньютоновской механики, квантовой физики, вплоть до взаимосвязей физики с другими науками.
Глава 15
ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
§ 2. Механическая и электрическая энергии
§ 3. Энергия постоянных токов
§ 4. В или А?
§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика
§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динамике?
§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным
m= IA,(15.1)
где I — сила тока, a A — площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:
m=IАn,
где n — единичный вектор нормали к площади А.
Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнитное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось z направлена по полю, а ось y лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью xyугол q (фиг. 15.1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол q.
Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в однородном поле). Но благодаря силам, действующим на стороны, обозначенные на фиг. 15.1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси у. Величина этих сил Flи F2 такова:
F 1 =F 2 =IBb.
Фиг. 15.1. Прямоугольная петля с током I в однородном поле В, направленном по оси z.
Действующий на нее вращательный момент равен t=mXB, где магнитный момент m=Iab.
Их плечо равно
так что вращательный момент
Вращательный момент может быть записан и векторно:
(15.2)
То, что вращательный момент дается уравнением (15.2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но результат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотношение подобного же рода:
Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуальной же работы утверждает, что момент вращения — это скорость изменения энергии с углом, так что можно написать
Подставляя t =+mBsinq и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение
(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда m и В параллельны.)
По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле.) Поэтому мы будем называть ее Uмех, чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегрирования в (15.3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли. Так что мы перепишем уравнение так:
(15.4)
Опять получилось соответствие с электрическим диполем, где было
(15.5)
Только в (15.5) электрическая энергия — и вправду энергия, а Uмехв (15.4) — не настоящая энергия. Но все равно ее можно применять для расчета сил по принципу виртуальной работы. Надо только предполагать, что ток в петле (или по крайней мере магнитный момент m) остается неизменным при повороте.