Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вместо двух.

В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 х 8 = 200), то вы сможете получить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 х 4 = 300, то легко вычислите 975 х 4.

Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собственного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни катанию на велосипеде или печатанию. Это может казаться невозможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наиболее впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычислений. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократно, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался вопросом: насколько большим может быть произведение этих чисел?

Я начал с середины, 10 х 10 (или 102) равняется 100. Затем я умножил 9 х 11 = 99; 8 х 12 = 96; 7 х 13 = 91; 6 х 14 = 84; 5 х 15 = 75; 4 х 16 = 64 и т. д. и обратил внимание на то, что результат каждый раз уменьшается. И разность между ним и 100 составляет 1, 4, 9, 16, 25, 36… или 12, 22, 32, 42, 52, 62… (смотри таблицу ниже).

Мое открытие показалось мне удивительным. Затем я опробовал числа, дающие в сумме 26, и получил похожие результаты. Первым делом я вычислил 132 = 169, затем 12 х 14 = 168; 11 х 15 = 165; 10 х 16 = 160; 9 х 17 = 153 и т. д. Как и прежде, разность этих произведений и числа 169 равнялась 12, 22, 32, 42…

(смотрите таблицу ниже).

На самом деле существует простое алгебраическое объяснение данного феномена (смотрите раздел «Почему эти приемы работают» в конце главы). Но в то время я не разбирался в алгебре настолько хорошо, чтобы доказать постоянство появления такой последовательности, но все-таки провел достаточное количество экспериментов с подобными примерами, чтобы убедиться в ее наличии.

Затем я осознал, что данная последовательность может облегчить операцию возведения чисел в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Почему бы, вместо того чтобы умножать 13 х 13, не получить приближенный ответ, используя два числа, которые легче перемножить и которые в сумме дают тоже 26? Я выбрал 10 х 16 = 160. Чтобы получить итоговый ответ, я просто прибавил 32 = 9 (так как 10 и 16 дают разность 3 с числом 13) к числу 160. Таким образом, 132 = 160 + 9 = 169. Все четко!

Данный метод схематически можно представить так.

А теперь посмотрим, как эта схема работает с квадратом другого числа

Чтобы возвести в квадрат 41, вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42. Далее умножаем 40 х 42. Без паники! Это простое умножение типа «2 на 1» под прикрытием (здесь 4 х 42). Так как 4 х 42 = 168, то 40 х 42 = 1680.

Почти все! Вам осталось лишь прибавить квадрат 1 (числа, на величину которого вы уменьшали и увеличивали 41), чтобы получить ответ: 1680 + 1 = 1681.

Неужели в самом деле так легко возводить в квадрат двузначные числа? Да, с использованием этого метода и небольшим количеством практики. И способ работает независимо от того, округляете вы исходное число в б'oльшую или меньшую сторону.

Например, возведем 772, увеличив и уменьшив его во время решения.

В данном примере преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически уже получили решение, осталось просто прибавить 9 к 0 на конце!

По сути, я всегда округляю по принципу большей близости к 10. Так, если возводимое в квадрат число оканчивается на 6, 7, 8 или 9, то округляю в большую сторону, а если на 1, 2, 3 или 4, то в меньшую. (Если число оканчивается на 5, то округляем сразу в обе стороны!) Придерживаясь такой стратегии, вы ограничитесь прибавлением лишь чисел 1, 4, 9, 16 или 25 к результатам первого умножения.

Рассмотрим другой пример. Вычислите 562 в уме самостоятельно, прежде чем посмотрите на наше решение.