Шрифт:
Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная разница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 = 0,333333333 … — в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков, однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.
Число вида (325/100) = 3,25 имеет всего два десятичных знака.
(95/99) = 0,4545… имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз (эта группа цифр называется периодом).
(47113/ 9000) = 5,2347777… представляет собой ещё один вид десятичных дробей, в записи которых период появляется после непериодической части.
Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение 2? Ответ: нам известно лишь его приближённое значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.
Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближённое значение 2 при помощи последовательности сумм:
Члены этой последовательности постепенно сходятся к 2 поочерёдно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.
Таким образом, начав с 1 — оценки 2 слева и 1,5 — оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идёт о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению 2, однако утверждать, что 2 — конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.
Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.
Квантовый скачок
Рассмотрим, как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконечное продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много частей). Допустим, что даны две параллельные прямые r и r'.
Обозначим на первой точку Р, которую будем использовать как начало отсчёта. Теперь отметим на второй прямой точку Q, расположенную, например, на перпендикуляре, проведённом к r через точку Р. Угол между отрезком PQ и r' равен 90° (прямой угол). Переместим точку Q, которая находится на прямой r', вправо.
Заметим, что угол ОС изменился, и по мере того, как мы перемещаем точку Q всё дальше вправо, он постепенно уменьшается. Очевидно, что чем дальше точка Q, тем меньше угол . Бесконечное продолжение прямой, вызванное движением точки Q, неразрывно связано с непрерывным уменьшением угла до сколь угодно малых значений. Если говорить простым языком, можно сказать, что одно становится бесконечно большим, а другое одновременно — бесконечно малым. Здесь важно отметить следующее: точка Q смещается вправо по прямой r' непрерывно, и угол уменьшается также непрерывно.
Рассмотрим ситуацию с иной точки зрения. Будем уменьшать угол и наблюдать за тем, как точка Q удаляется в бесконечность. Расстояние от точки Q до прямой r сохраняется и равно расстоянию между двумя параллельными прямыми. Ключевой вопрос звучит так: что произойдёт, когда угол, образуемый отрезком PQ и прямой r, станет равен нулю? Ответ таков: точка Q станет бесконечно удалённой, причём не произвольной, а такой, в которой обе прямые сойдутся. Пока что всё в порядке, но переход к бесконечности вновь оказался болезненным. Потенциальная бесконечность, которую мы себе представляли, стала актуальной бесконечностью, и мы получили удивительный результат: расстояние от точки Q до прямой r вдруг стало равным нулю.
Можно ли считать этот эксперимент исключительно мысленным? Мы никогда не увидим, как точка Q становится частью прямой r, и принимаем как данность, что после этого прыжка в бесконечность создаётся принципиально новая ситуация.
Современная физика предлагает модель, в которой этот мысленный эксперимент совершенно реален. Когда Планк сформулировал основы квантовой механики, он предложил сценарий, весьма похожий на только что описанный. В модели атома, принятой в современной физике, электрон, который вращается по орбите с энергетическим уровнем r', может совершить квантовый скачок и перейти на иной энергетический уровень r. Более того, этот переход совершается не последовательно, а скачкообразно. Можно сказать, проведя параллель с нашим примером, что электрон непрерывно накапливает энергию аналогично тому, как непрерывно уменьшается величина угла . В какой-то конкретный момент электрон (наша точка Q) переходит с одного энергетического уровня на другой. В этом смысле можно признать правоту Зенона, пусть это и приведёт к противоречию. Не существует движения в том смысле, как мы его понимаем, которое перемещает электрон с одной орбиты на другую. Существуют два различных физических состояния, в которых потенциальная и актуальная бесконечность удивительным и загадочным образом сосуществуют в пространстве и времени.