В любом случае в методе неизбежно рассматривается актуальная бесконечность, для чего в современном анализе выполняется переход к пределу. Если бы древние греки применили этот подход при решении этой и других схожих задач, то добились бы потрясающих результатов.

Кеплер был одним из первых математиков Возрождения, который занялся вычислением объёмов, причём не совсем в обычных обстоятельствах: впервые он обратил внимание на эту задачу в тот самый день, когда сочетался вторым браком с Сюзанной Рейтингер (его первая жена скончалась годом ранее). Это был брак по расчёту, так как Кеплер искал женщину, которая позаботилась бы о нём и его детях и вела бы домашнее хозяйство. Сюзанна, должно быть, понимала, насколько необычным характером отличался её будущий муж, поскольку она не удивилась, когда он покинул свадебное торжество, чтобы подробно изучить, как трактирщик измеряет объём вина в бочках. Бочки не имели строго цилиндрическую форму, и объём измерялся с помощью мерного стержня, который опускался в них через отверстие в крышке.

Определив таким образом уровень вина в бочке, трактирщик узнавал, сколько его осталось. Результатом размышлений Кеплера стал вышедший в 1615 году трактат под названием «Новая стереометрия винных бочек». Для решения задачи Кеплер использовал метод неделимых, разработанный Архимедом. Можно сказать, что из задачи об объёме бочки вина впоследствии родился анализ бесконечно малых. Тем не менее следует отметить, что труды Кеплера в этой области носили скорее практический, чем теоретический характер, и в этом смысле их можно считать отчасти неполными. Например, для вычисления площади круга он рассматривал сумму площадей бесконечного числа треугольников, вершины которых совпадали с центром круга, а основания располагались на окружности. Аналогично для вычисления объёма сферы он рассчитывал сумму объёмов конусов, вершины которых совпадали с центром сферы, а основания находились на её поверхности. С помощью этого метода Кеплер пришёл к выводу, что объём сферы равен одной трети произведения её радиуса на площадь поверхности. Корректность всех этих операций Кеплер обосновывал принципом непрерывности, который при использовании его метода вычисления объёмов следовало принять за истину.

Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.

Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.

Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636) и график, описывающий свободное падение тел.

На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость.

Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает, что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она равна 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ представляет пройдённое время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь будет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площади фигур, ограниченных ими. В своих расчётах он использовал методы, схожие с методами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.

Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадоксами бесконечности и изучить её природу. Именно так он пришёл к парадоксу, который не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была парадоксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое определение бесконечности.

Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея в 1638 году, звучит так.

Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10….

Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100….

Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем неограниченно добавлять к ним всё новые и новые числа. Кроме того, Галилей заметил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая бесконечность больше, первая или вторая, что ведёт к кажущемуся парадоксу. Он полагал, что либо в чём-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях «больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идёт о бесконечности.

В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кантор,

Бонавентура Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями площадей и объёмов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».