то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо её член, сколь бы малым ни было расстояние до нуля.

На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность подобна скобкам, в которые заключена точка P. Основная идея заключается в том, что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрестности, который обычно обозначают  — эпсилон) и числом n, определяющим элемент аn, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого эпсилон существует n, такое что…»

Именно так определяется понятие бесконечного деления, очень близкое к понятию предела. Когда в одном из парадоксов Зенона интервал делится пополам бесконечное число раз, мы формируем последовательность, подобную описанной в предыдущем примере. Теперь мы можем воспользоваться строгим определением перехода к пределу и подтвердить, что последним членом последовательности будет 0. Это не помогает разрешить парадокс, так как ситуация, по сути, не изменилась: точки образуют бесконечную последовательность и скапливаются вблизи нуля, и мы считаем, что существует последняя точка последовательности, 0, но в действительности 0 не является членом этой последовательности. Это утверждение не является оправданным, но чётко определено на языке математики. Как говорил Бертран Рассел, «математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни о чём говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим».

В действительности Коши в своём определении предела использовал не точки, которые скапливаются вокруг некоторой данной точки, а точки, которые скапливаются рядом друг с другом. Иными словами, скопление точек, которое рассматривал Коши, подобно скоплениям автомобилей на разных участках дороги, вызванным множеством аварий в разных местах. Ситуация значительно осложняется тем, что если мы рассматриваем исключительно рациональные числа, то прямая, на которой они располагаются, не будет заполнена — на ней останутся промежутки. Например: дана последовательность точек (теперь мы связываем точки на прямой с рациональными числами), которые скапливаются всё плотнее и плотнее. Эту ситуацию можно чётко определить на языке математики, что сделал Коши. Однако проблема заключается в том, что эти точки могут скапливаться вокруг пустого места на прямой, точнее вокруг точки, которой не соответствует никакое рациональное число.

Так происходит, например, в случае с последовательностью

о которой мы говорили в главе 2 и которая сходится к числу 2, а оно не является рациональным. Разумеется, мы можем построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет равна 2, но так мы определим это число геометрически, а во времена Коши математики пытались дать определение числам чисто арифметическими или аналитическими методами. Рациональные числа, по сути, вообще не были определены как числа, пока Дедекинд и, позднее, Кантор не сформулировали для них точной дефиниции. Последний сделал не только это, но и устранил промежутки на числовой прямой, которых в действительности существует бесконечное множество, так как иррациональных чисел, равно как и рациональных, бесконечно много.

Однако Кантор заслуживает отдельной главы, ведь он не только заполнил числовую прямую, устранив эти промежутки, но и первый встретился с бесконечностью лицом к лицу.

Возможно, было бы небольшим преувеличением заявить, что открытия Кантора стали поворотным моментом в истории всей математики, хотя есть и те, кто придерживается именно этой точки зрения. Однако, без сомнений, его достижения ознаменовали поворотный момент в изучении бесконечности.

Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) был математиком-провидцем, он вошёл в число пионеров нового раздела математики — математического анализа, и создал одну из наиболее широко используемых теорий в истории прикладной математики.

Среди его работ особенно выделяется «Аналитическая теория тепла» (возможно, важнейшая из опубликованных им работ), в которой основное внимание уделялось теплопроводности. Этот труд не только имеет исключительную научную ценность, но и стал первым в истории трудом по математической физике.

Разложение функции в ряд заключается в представлении произвольной функции в виде бесконечной суммы других функций. Преимущество этого приёма в том, что с функциями, составляющими бесконечную сумму, работать проще, чем с исходной функцией. Ряды Фурье не были первым примером разложения функции в ряд — в то время уже достаточно часто использовалось разложение в степенной ряд Тейлора. Основное требование при разложении в ряд Тейлора звучало так: поведение рассматриваемой функции должно быть полностью определено на небольшом интервале.

Разложение в ряд Тейлора возможно для множества функций, но имеет один недостаток: оно может применяться исключительно локально, то есть позволяет узнать поведение функции в небольшой окрестности, но никак не определить её поведение в целом. Для решения этой задачи Фурье рассмотрел разложение функции на простые составляющие, как правило, синусоидальные функции. Волны, на которые раскладывались функции при преобразованиях Фурье, получили название гармонических колебаний, а изучавший их новый раздел математики был назван гармоническим анализом.