Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся учёных, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.

Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.

Отметим ещё одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому времени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не использовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адаптироваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию, позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометрическую фигуру, чётко определённую на языке функций. Наиболее вероятно, что траектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли, «тем хуже для снаряда».

Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых понятий: тело и материальная точка. Первое ввёл Декарт, а второе — Ньютон. Яблоко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести к материальной точке.

Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный прикладной характер: её задачи имели исключительно практическую направленность.

Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти углы отсчитываются от нормали, проведённой к отражающей поверхности в заданной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести перпендикуляр в заданной точке, но если речь идёт о криволинейной поверхности, как в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.

Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.

Ещё один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернёмся к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной дальности полёта снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависимости от угла наклона орудия.

Следующие четыре нерешённые задачи предопределили зарождение математического анализа, или анализа бесконечно малых:

— построение касательной к кривой в точке;

— расчёт максимумов и минимумов функции;

— расчёт квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или несколькими кривыми;

— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя её точками.

Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.

Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа, в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками бесконечности, которые они решили каждый по-своему.

Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.

Исаак Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком, внёс чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые определяются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно: