Следующий, менее сильный всплеск произошел, когда мы поехали отдыхать в Будапешт. Отдых быстро подошел к концу, когда мы заметили, что наши романтические каникулы состоят из того, что мы примерно двадцать три часа в день ссоримся из-за мелочей.

Кривая наконец пересекает ось X в августе, когда я бросил ее и она ровно в полночь выставила меня, бездомного и нищего, из квартиры на улицы Беркли.

Второй ингредиент озарения Колина – тот факт, что графики (в том числе и графики романтических отношений) можно представить в виде функций. Сейчас я объясню, потерпите.

Во-первых, когда мы рисуем подобную диаграмму, то

каждую точку на ней можно представить в виде чисел. Отметим числа на горизонтальной (ось X) и на вертикальной (ось Y) оси. Теперь, чтобы обозначить точку на плоскости, нам достаточно указать два числа: одно, указывающее на расстояние от точки до оси X, и второе – до оси Y. Например, точка (2,1) находится около точки (2) на оси X и точки (1) на оси Y. Иначе говоря, она находится на два пункта правее и на один пункт выше точки пересечения осей X и Y, которая обозначается (0,0). Точка (0, -2) расположена на оси Y на два пункта ниже точки пересечения осей, а точка (-3, 2) – на три пункта левее и на два пункта ниже точки пересечения осей.

Теперь поговорим о функциях. Функция – это нечто вроде машины, превращающей одни числа в другие. Это правило очень простой игры: я даю вам одно число, а вы возвращаете мне другое.

Например, функция может сказать: «Возьмите число и умножьте его на него же» (то есть возведите в квадрат). Тогда наш диалог будет примерно таким.

Я: 1

Вы: 1

Я: 2

Вы: 4

Я: 3

Вы: 9

Я: 9 252 459 984

Вы: 85 608 015 755 521 280 256

Многие функции можно представить в качестве алгебраических уравнений. Например, функцию, о которой шла речь выше, можно записать так:

Это означает, что я даю вам число x, а вы умножаете его на него же (возводите в квадрат) и возвращаете получившееся число мне. Используя эту функцию, мы сможем отметить все точки вида (x,f(x)). Вместе эти точки образуют некую кривую на плоскости, и мы называем эту кривую «графиком функции». Возьмем функцию

Отметим точки (1, 1), (2, 4) и (3, 9). Также отметим (0, 0), (-1, 1), (-2, 4) и (-3, 9). (Помните, что если отрицательное число умножить на это же число, получится число положительное.)

Как вы, наверное, уже догадались, график будет иметь вид вот такой кривой:

Вы могли заметить, что этот график, к сожалению, довольно плохо годится для отображения отношений. Графики, которые Колин использует для своей теоремы, должны пересечь ось Х дважды (в первый раз – когда пара начинает встречаться, и во второй – в момент расставания), а наш график коснулся ее только единожды. Но это можно легко исправить, используя чуть более сложные функции. Возьмем, например, функцию:

График Колину знаком – это график короткого романа, который завершается тем, что его бросает девочка (нам известно, что девочка бросает Колина, потому что в промежутке между первым поцелуем и расставанием график проходит над осью Х). В общих чертах этот график верно описывает историю жизни Колина. Теперь остается только немного подправить ее, чтобы уточнить детали.

Одно из главнейших направлений математики в двадцатом веке – изучение семейств объектов. (Когда математики говорят «семейство», они имеют в виду «любое количество сходных объектов». Например, стул и стол принадлежат к семейству «мебель».)

Вот в чем идея: линия – это не более чем множество (семейство) точек; плоскость – семейство линий и так далее. Это аргумент в пользу того, что если вам интересен один объект (например, точка), то еще интереснее будет изучать все семейство сходных объектов (например, линию). В последние шестьдесят лет этой точки зрения придерживаются все ведущие математики мира.

Самое время поговорить о третьем кусочке пазла под названием «Эврика, или Озарение Колина». Каждая Катерина уникальна, и каждая из них бросает Колина уникальным образом. Это означает, что, как бы тщательно Колин ни работал над усовершенствованием одной функции или одного графика, результат будет касаться только одной Катерины. На самом деле Колину нужно изучить всех возможных Катерин со всеми их функциями. Другими словами, ему нужно исследовать все семейство функций Катерин.

Итоговое открытие Колина таково: романтические отношения можно отобразить на графике, а графики – это отображения функций, и все эти функции можно свести к одной (очень сложной) формуле, которая позволит ему предсказать, когда его бросит следующая Катерина (и, что важнее, бросит ли она его вообще) [89] .

Давайте я объясню на примере, что это значит. Возьмем первую формулу Колина. Она выглядит так: