Алгебра в конце XVI века продолжала прогрессировать, особенно в работах Виета и Томаса Гариота (1560–1621). Оба трудились над кубическими уравнениями, изобретая новые методы их решения и решения уравнений более высокой степени. (Они сводили кубическое уравнение к форме у6 + у3 = а, которую можно было рассматривать как квадратное уравнение, а уравнения более высоких степеней решали методом аппроксимации.) Другим серьезным шагом вперед стал разработанный Виетом способ понижения степеней уравнений, то есть сведения сложных уравнений к более приемлемым формам. Виет также уделял много времени площадям фигур, ограниченных сложными кривыми. Продолжало развиваться национальное деление: труды Виета оказали влияние в основном на французскую математику, а английские математики предпочитали черпать идеи у Гариота.

Арифметика была полезна в домашнем хозяйстве и на рынках; алгебра позволяла решить хитроумные задачи, которые, в свою очередь, были применимы в коммерческой практике. Но только к науке все это не имело отношения. Арифметика, конечно, использовалась в астрономических расчетах, но предлагаемые ею методы были слишком обременительными. Астрономические вычисления оставались тяжелой монотонной работой, которую мало кто любил. К счастью для астрономии, во все времена находились ученые, которым нравилось сражаться с большими цифрами. Яркий пример – Кеплер. Даже сравнительно несложные астрономические расчеты затрагивали еще одну отрасль математики, интересную только для астрономов, – древнее искусство тригонометрии. Она получила свое развитие у греческих астрономов, в первую очередь у Гиппарха и Птолемея, поскольку существовала необходимость измерять и линейную, и угловую скорости. Греческая тригонометрия первоначально занималась определением длины дуги путем измерения длины хорды соответствующего круга. Таким образом, на рис. 8, если тело движется от А к В по дуге окружности, пройденное расстояние можно определить или измерением угла АОВ при известной длине радиуса АО, или из длины радиуса и хорды АВ. Таблицы хорд, составленные Птолемеем, давали их длины как части диаметра окружности и соответствующие длины дуг. Разные индо-арабские открытия привели к инновации: треугольник стали делить пополам, чтобы получился прямоугольный треугольник, в котором очень важно отношение половины угла в центре окружности (точка О на рисунке) и радиуса. Это и есть тригонометрический синус, хотя в современной форме появился только в XVIII веке. Тангенсы появились в результате измерения тени для расчета времени. В XV веке прямоугольный треугольник был заменен треугольником, вписанным в круг. В результате образовался косинус – очень полезная тригонометрическая функция. Секанс и косеканс тоже стали известными в XV веке как побочные продукты навигационных таблиц. Так же как косинус и тангенс, они получили современные названия в XVI веке. Сферическая тригонометрия, рассматривавшая треугольники, образующиеся пересечением окружностей на сфере, широко использовалась в астрономических вычислениях. Отсюда «доктрина сфер», которая началась как простейшая отрасль математической астрономии, включающая только название и определение местонахождения больших кругов Вселенной.

Рис. 8. Геометрическое происхождение тригонометрического синуса

Прогресс в тригонометрии шел упорядоченно: по большей части в «одной упряжке» с математической астрономией. Пурбах и Региомонтан изучали птолемееву астрономию, а также тригонометрию и наряду с астрономическими трактатами писали тригонометрические. Пурбах удовлетворился новой таблицей синусов; Региомонтан написал «О треугольниках» (1464, опубликовано в 1533 г.) – полный обзор плоской и сферической тригонометрии. Коперник добавил новые тригонометрические таблицы в качестве приложения к первой книге De Revolutionibus, подражая Птолемею, а его таблицы были усовершенствованы Ретиком. В конце XVI века пришло понимание того, что тригонометрические знания могут быть полезны и людям других профессий. Самые прогрессивные и современные учебные пособия по навигации стали включать основы тригонометрии. Уильям Боро (1537–1598), опытный моряк, на практике познавший исключительную полезность математических знаний, убеждал читателей написанной им книги «Беседы о склонении компаса» (Discourse on the Variation of the Cumpas, 1581) сравнить его мнение с мнением Региомонтана, явно бывшего для него авторитетом. Он с презрением отнесся к таблице синусов, составленной Ретиком, считая, что она хуже, чем таблица Рейнгольда. Он надеялся опубликовать лучшие таблицы, «которые можно будет использовать в навигации и космографии».

Самым важным новым открытием в тригонометрии и математической астрономии стало введением логарифмов Джоном Непером (1550–1614). В XVII веке синусы все еще выражались как длины, и, чтобы избежать дробей, которые затрудняли вычисления, радиус круга, в который вписывался синус, брался очень большим. Это давало возможность вычислять синус в единицах достаточно точно, позволяло избегать дробей, но все еще предусматривало длительные и сложные вычисления. Непер долго искал способ ускорить и облегчить расчеты. Начал он с комплексного анализа отношений между арифметическими и геометрическими прогрессиями больших чисел, но и здесь расчеты оказались слишком трудоемкими. Анализируя результаты, ученый пришел к выводу, что может достичь желанной цели, применив отношения, которые назвал логарифмами. После двадцати лет напряженных трудов он опубликовал в 1614 году «Описание чудесного правила логарифмов» (A Description of the Marvellous Rule of Logarithms). В книге он привел таблицы логарифмов синусов и тангенсов и объяснил, как можно умножать синусы, складывая их логарифмы, и делить синусы, вычитая их логарифмы [138] . Латинская версия Непера была переведена на английский язык Эдвардом Райтом и опубликована в 1616 году. Через три года Непер опубликовал свой метод расчета таблиц. Тем временем профессор геометрии Грешем-колледжа Генри Бриггс (1561–1630) посетил Непера и предложил ему использовать десятичное основание и рассчитывать таблицы обычных чисел так же, как тригонометрические. Непер и раньше намеревался рассчитывать таблицы логарифмов с основанием 10 и с радостью перепоручил это дело Бриггсу. В 1617 году появилась первая часть таблиц, подготовленных Бриггсом. Впоследствии они стали полнее и включили логарифмы тригонометрических функций. В форме, представленной Бриггсом, полезность логарифмов была широко признана, и скоро они стали использоваться в самых разных расчетах. Другие авторы неоднократно дополняли таблицы, заполняли пробелы, оставленные Бриггсом.

Логарифмы одновременно стали триумфом чистой математики и хорошим подаркам математикам-практикам. Их оценили все, и даже неизвестный поэт, написавший в предисловии к переводу Райта «Описания» Непера, что

Ученые XVI века были новаторами и бунтарями. Они сознательно отвергали установившиеся взгляды, делали открытия, с жаром обсуждали новые идеи. Постепенно они пришли к выводу, что для эффективного исследования природы нужны совершенно новые методы. В середине XVI века ученые были слишком заняты – или отстаивая тезис, что вся аристотелевская наука не права (как, например, парижский логик Петр Рамус), или развивая новые гипотезы в конкретных науках – чтобы заняться проблемой общей научной методики. Но в конце века они начали рассматривать возможность реорганизации науки, что привело к появлению философов науки, таких как Фрэнсис Бэкон и Декарт.

Организация бывает двух разновидностей: организация метода и организация людей. В этот период активно обсуждались обе. И знания, и количество людей, этими знаниями обладавшее, стало слишком большим, чтобы можно было и дальше ничего не менять. В XV и начале XVI века ученые-гуманисты составляли небольшую группу эрудированных коллег и поддерживали контакты по переписке. Аналогично содержание науки было все еще простым и ограниченным, чтобы традиционное университетское образование, дополненное самостоятельным чтением авторитетных источников, было адекватным и человек мог считать себя серьезным ученым. Достижения середины XVI века все изменили. Ученые стали публично требовать, чтобы научное образование велось более глубоко и на двух уровнях: на высоком – для будущих ученых, а на широком – для публики, к этому времени оценившей полезность науки. Ученым также должны были расширять личные контакты. Теперь в каждой стране имелись свои ученые, но далеко не все могли проводить большую часть времени в главных университетских центрах Европы. Сначала недовольство выражалось только в горячих дискуссиях, к концу XVI века они начали переходить от слов к делу.

Наука раннего современного периода начинается в университете. И хотя большинство ученых имели университетское образование и многие были преподавателями университетов, наука конца XVI века не была чисто университетской. В этом отношении ранний современный период существенно отличается от Средних веков, когда практически все научные дискуссии велись в стенах университета в рамках стандартной университетской программы. Изменения, произошедшие в XVI веке, только частично являются результатом университетского консерватизма, из-за которого программы не адаптировались к новым идеям. Также изменились природа и содержание самой науки. Университеты, обеспечивавшие общее образование всем, всегда давали своим студентам элементарные научные знания: даже на медицинских факультетах обучали в основном теории, а не практике, да и то на элементарном уровне. Сложные антиаристотелевские идеи XIV века о динамике, новые астрономические теории XV века и новые медицинские теории начала XVI века могли быть представлены студентам только после знакомства с естественными науками. Ведь все новые идеи были тесно связаны по форме и содержанию с аристотелианством, от которого они и произошли.