Статья военного инженера Л. Ф. Менабреа (впоследствии генерал в армии Гарибальди, а затем премьер-министр Италии) "Очерк Аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем" заинтересовала Аду, и она перевела ее на английский язык. Тогда Бэббидж предложил ей добавить некоторые примечания к переводу. Эта идея была немедленно принята. Перевод статьи Менабреа занимает 20 страниц, примечания же Ады Лавлейс — в два с половиной раза больше, 50 страниц. Одно это сопоставление показывает, что А. А. Лавлейс отнюдь не ограничилась ролью простого комментатора. При этом статья Менабреа касается в большей степени технической стороны дела, тогда как примечания Лавлейс — математической.

После получения первых корректур она пишет Бэббиджу: "Я хочу вставить в одно из моих примечаний кое-что о числах Бернулли в качестве примера того, как неявная функция может быть вычислена машиной без того, чтобы предварительно быть разрешенной с помощью головы и рук человека. Пришлите мне необходимые данные и формулы". По ее просьбе Бэббидж прислал все необходимые сведения и, желая избавить Аду от трудностей, сам составил алгоритм для нахождения этих чисел. Но допустил очень грубую ошибку в составлении алгоритма, и Ада сразу же это обнаружила. Она самостоятельно написала программу для вычисления чисел Бернулли.

Эта программа представляет исключительный интерес, поскольку величина, сложность и математическая постановка данной задачи не идут ни в какое сравнение с элементарными примерами. Этот пример позволил Лавлейс в полной мере показать методику программирования на Аналитической машине и те преимущества, которые дает последняя при подходящем методе вычислений.

Предвосхищая "этапы" компьютерного программирования, Ада Лавлейс, так же как и современные математики, начинает с постановки задачи, затем выбирает метод вычисления, удобный для программирования, и лишь тогда переходит к составлению программы.

За определение числа Бернулли Лавлейс берет следующее выражение:

Оно неудобно, т. к. требует суммирования ряда. Другая форма задания предпочтительнее:

Но последняя формула представления B2n-1 имеет существенные недостатки. Поэтому Лавлейс выводит рекуррентную формулу:

и принимает ее за основу метода вычисления. Затем она приступает к описанию программы.

Эта программа вызвала восторг Бэббиджа, он не жалел хвалебных слов для ее автора, и они были вполне заслуженными. Поддержка и теплые слова укрепляли уверенность Ады и давали ей силы для работы. Успехи давались ей с большим напряжением и не без ущерба для здоровья, на что она неоднократно жалуется в письмах Бэббиджу. Лавлейс хотелось, чтобы эта и последующие работы, о которых она мечтала, могли как-то связываться с ее именем. Поэтому Ада решает под каждым примечанием поставить свои инициалы.

Чарльз Бэббидж

ax0 + bx1 + cx2 + dx3 +… + kx9 = p,

a1x0 + b1x1 + c1x2 + d1x3 +… + k1x9 = p1,

…….

a9x0 + b9x1 + c9x2 + d9x3 +… + k9x9 = p9,

"Примечания" Лавлейс заложили основы современного программирования, базирующегося на тех идеях и принципах, которые были ею высказаны. Одним из важнейших понятий программирования служит понятие цикла. Лавлейс полностью осознала значение цикла — использование циклических вычислительных методов является одним из простейших и эффективнейших методов, облегчающих использование вычислительных машин. Поэтому она уделяет весьма много внимания циклам в своей работе. Ей принадлежит определение цикла: "Под циклом операций следует понимать любую группу операций, которая повторяется более одного раза". Организация циклов в программе значительно сокращает ее объем. Без такого сокращения практическое использование Аналитической машины было бы нереальным, т. к. она работала с перфокартами, и требовалось бы огромное их количество для каждой решаемой задачи. Для иллюстрации эффективности использования циклов Лавлейс приводит в качестве примера решение системы 10 линейных уравнений с 10 неизвестными:

Прежде всего, уже в то время Ада Лавлейс отдавала себе полный отчет в колоссальной "широте спектра" возможностей универсальной вычислительной машины. Вместе с тем она очень четко представляла себе границы этих возможностей: "Желательно предостеречь против преувеличения возможностей Аналитической машины. Аналитическая машина не претендует на то, чтобы создавать что-то действительно новое. Машина может выполнить все то, что мы умеем ей предписать. Она может следовать анализу; но она не может предугадать какие-либо аналитические зависимости или истины. Функции машины заключаются в том, чтобы помочь нам получить то, с чем мы уже знакомы". В 1843 году, когда эти положения высказывались, Ада, конечно, не могла предвидеть, как разовьется и какие формы примет программирование спустя 120 лет.