Далее я объясню, что таблица умножения для группы с конечным числом элементов всегда будет латинским квадратом.

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно. Давайте вернемся к группам.

ВЕЙЛЬ: Я привел столь подробный пример с преобразованиями треугольника для того, чтобы теперь мы смогли вместе определить их внутреннюю структуру, то есть то общее, что остается, когда мы отбросим все частные случаи. Не будем откладывать дело в долгий ящик и начнем с того, что избавимся от треугольника.

Напомню, что предмет нашего изучения — не фигура сама по себе, а ряд ее преобразований, которые мы обозначили через R, S и так далее. Заменим их произвольным множеством элементов (конечным или бесконечным), которое будем обозначать буквой G. В примере с преобразованиями треугольника мы можем объединить два движения так, что получится третье, которое будет обладать теми же свойствами. Сохраним это условие: для каждой пары элементов G должна быть определена операция, результат которой также будет принадлежать G. Ранее мы обозначали эту операцию, просто записывая два члена рядом. Теперь введем для обозначения этой операции какой-нибудь новый символ, например *. Так, а * b будет обозначать результат умножения а на b согласно свойствам групповой операции.

На этом мы могли бы остановиться, но подобная структура не содержит достаточно ограничений, чтобы гарантировать наличие некоторых интересных свойств.

Если мы рассмотрим множество всего из трех букв, к примеру С = {х, y, z}, то найдется 19 683 разных способа определить на этом множестве операцию, которая сопоставит любым двум элементам третий. Это слишком много! Необходимо, чтобы операция * обладала некоторыми свойствами. Вернемся к примеру с преобразованиями треугольника. Напомню, что композиция любого преобразования с тождественным преобразованием I оставляла исходное преобразование неизменным.

52

Аналогично, нам нужен нейтральный элемент е такой, что равенства а*е = е*а = а будут верными для любого элемента а множества G. С учетом нейтрального элемента в примере с множеством {х, у, z} число возможных операций сократится до 81 — почувствуйте разницу! Крайне важную роль в расчетах сыграла возможность располагать скобки в произвольном порядке, поэтому мы введем новое требование: при операции над любыми тремя элементами результаты (а * b) * с и а * (b * с) должны быть равны. Это свойство называется ассоциативностью.

Можно было бы сказать, что группа — это множество с определенной на нем ассоциативной операцией, содержащее нейтральный элемент.

Между прочим, такая структура действительно существует и называется моноидом. Приведенное определение могло бы стать определением группы, но преобразования треугольника обладают еще одним свойством, которое будет интересно обобщить. Это свойство обратимости, согласно которому для любого преобразования всегда найдется другое, которое вернет треугольник в исходное положение. Допустим, мы применили поворот R. Если теперь мы применим R2, получим R2R = R3 = I. Таким образом, преобразование R2 обратно преобразованию R. В других случаях движение может быть обратно самому себе, как, например, симметрии S, RS и SR. Существование обратной операции означает, что для любого элемента а множества G всегда найдется другой элемент b такой, что а * b и b * а будут равны нейтральному элементу.

Часто вместо b записывают а– 1. Так определяется группа. Чуть позже мы покажем, что определить группу на множестве {х, у, z) можно единственным способом.

53

Первая групповая операция, которая приходит в голову, — сложение натуральных чисел. Эта операция обладает свойством ассоциативности, а 0 — ее нейтральный элемент. Но чтобы определить группу, необходимо, чтобы для каждого элемента существовал обратный элемент. Для этого добавим к группе отрицательные числа:

—1 будет обратным элементом для 1, так как 1 + (—1) = (—1) + 1 = 0, аналогично —2 будет обратным элементом для 2 и так далее.

Мы получили группу целых чисел, которая обозначается буквой ℤ и содержит бесконечно много элементов. Если мы рассмотрим не сложение, а вычитание, то не сможем определить группу: как мы уже показали, вычитание не обладает свойством ассоциативности.

ЛЕВИ-СТРОСС: Вернемся к определению группы. Верно ли, что для любых двух ее элементов а и b а*b и b*а будут совпадать?

ВЕЙЛЬ: Необязательно. Именно поэтому в свойствах 2) и 3) мы записали оба этих равенства. Указать, что а * е должно равняться е, недостаточно, так как е * а совершенно необязательно будет равняться а * е. Если мы укажем, что для двух любых элементов группы выполняется условие a*b = b*a, то исключим из рассмотрения несколько очень интересных примеров. Вы уже видели, что если поменять местами R и S, результат операции изменится. Таким образом, преобразования треугольника не удовлетворяют приведенному выше определению группы. Разумеется, тот факт, что а*b и b*а в общем случае не совпадают, вовсе не означает, что не могут существовать такие а и b, что будет выполняться равенство а * b = b * а.