Независимо от сложности правил, описывающих допустимые браки, мы всегда сможем описать их на языке алгебры — достаточно лишь запастись терпением.

ЛЕВИ-СТРОСС: Посмотрим, господин Вейль. Попробуйте доказать, что женщины принадлежат к тому же клану, что и их бабушки по отцовской линии.

ВЕЙЛЬ: Я думал, вы предложите мне задачу посложнее! Допустим, что бабушка и дедушка вступили в брак по правилу Mi. Тогда их сыновья должны последовать правилу f(Mi), а женщины, рожденные в этом брачном союзе, вступят в брак по правилу g(f(Mi)). Следовательно, чтобы определить разновидность брака внучки, сначала нужно применить функцию f, затем — функцию g. Теперь ваш вопрос звучит так: совпадают ли g(f(Mi)) и Mi?

Иными словами, является ли композиция f и g тождественным преобразованием? Чтобы показать, что это не так, достаточно произвести несложные расчеты: поскольку f(M1) равно М3 a g(M3) равно M4, получим, что g(f(M1)) = M4, а не М1 как мы хотели. Следовательно, если бабушка

68

принадлежит клану В, то внучка принадлежит к клану А. Однако бабушка по отцовской линии и ее внучка действительно будут принадлежать к одному клану. Убедитесь в этом!

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, я впечатлен! Именно такие методы требовались мне в 40-е годы при изучении запрета инцеста — проблемы, над которой до меня работал социолог Эмиль Дюркгейм. Он одним из первых указал, что запрет инцестов есть проявление более общего феномена, распространенного практически повсеместно — экзогамии. Как только мне что-то запрещают в кругу близких родственников, я вынужден покинуть клан, чтобы преодолеть запрет. Таким образом, речь идет не о моральных, а о практических соображениях. Многие опрошенные объясняли, что если женятся на своей сестре, то у них не будет зятя. «С кем я тогда буду ходить на охоту? С кем я буду отдыхать?» — говорили они. Моя точка зрения в некотором роде отличалась от той, которой придерживался Дюркгейм. Мне было интересно понять переход от природы, описываемой всеобщими законами, к культуре, где законы в разных обществах отличались. Вскоре я понял, что запрет инцеста представляет собой некое промежуточное состояние, потерянное звено цепи. Очевидно, что это правило применяется по-разному: в некоторых обществах, чрезвычайно строгих в этом отношении, смертью караются связи, которые мы бы никогда не назвали инцестом. В таком обществе я сам был бы рожден в запретном браке, так как мои родители были пятиюродными братом и сестрой. Другие общества, напротив, настолько либеральны, что в них мужчина может жениться на младшей сестре, хотя вступать в брак со старшей сестрой запрещается. Неизменно одно: всегда существует правило, запрещающее вступать в брак с кем угодно. Согласно моей гипотезе, запрет инцеста есть признак перехода от природы к культуре: в разных обществах это правило отличается, но в то же время оно весьма схоже со всеобщими законами природы.

ВЕЙЛЬ: Если я правильно помню, брак между родными братом и сестрой всегда был запрещен, но в некоторых племенах, которые вы изучали, мужчина мог вступать в брак с дочерью брата своей матери. Посмотрим, как можно записать это правило с помощью перестановок f и g. Не будем сразу же рассматривать мужчину, вступающего в брак, и вернемся на два поколения назад. Рассмотрим брак, заключенный по одному из правил Mi. Дочь, рожденная в этом браке, должна будет последовать правилу g(Mi), сын — f(Мi).

Это и будут мать и ее брат, о которых говорится в условии задачи. Следовательно, мужчина вступит в брак по правилу f(g(Mi)), а дочь брата его матери — по правилу g(f(Mi)). Чтобы оба они могли пожениться, эти правила должны совпадать: f(g(Mi)) = g(f(Mi)). Иными словами,

69

вне зависимости от исходного правила, если мы применим сначала функцию g, а затем — функцию f, то результат будет таким же, как если мы применим сначала функцию f, затем — функцию g. Как я уже объяснял в нашей последней беседе, композиция f и g является коммутативной. Это означает, что подгруппа Sn, которую порождают эти функции (то есть множество элементов, получаемых последовательным применением f и g), является абелевой. Абелевы группы с двумя порождающими элементами очень просты. Сейчас я объясню, почему это так, но вначале потребуется ввести одно новое понятие.

В прошлый раз я привел несколько примеров групп: мы подробно рассмотрели симметрическую группу Sy которая представляла собой группу преобразований, оставляющих равносторонний треугольник инвариантным, а также группу перестановок множества из трех элементов. Мы также поговорили о циклических группах ℤ/n — их элементами являются натуральные числа, меньшие n, а групповой операцией — та же видоизмененная операция сложения, которую мы выполняем, когда смотрим на циферблат часов, разделенный на n делений.

Тогда вы могли бы спросить меня: как определять новые группы на основе известных примеров? Сейчас я опишу один из возможных способов. Допустим, что даны две группы, G и Н. Так как соответствующие групповые операции необязательно совпадают, обозначим групповую операцию первой группы знаком *, групповую операцию второй группы — знаком ·. Множество, на котором будет определена новая группа (обозначим ее G × H), будет образовано парами (g, h), где g — элемент G, h — элемент Н:

G × H = {(g,h): g ∈ G, h ∈ Н}.

Осталось определить групповую операцию. Для этого применим групповые операции G и Н к соответствующим элементам пар. Следовательно, результат операции над (g1, h1) и (g2, h2) будет равен (g1 * g2, h1 · h2). Нетрудно видеть, что эта операция удовлетворяет трем условиям определения группы. Доказательство я оставлю вам в качестве упражнения. Мы получили новую группу, которую будем называть прямым произведением G и Н.