Это же справедливо и для конъюнкции «и»: для ее обозначения существует символ

, однако он является избыточным, так как его можно заменить символами V и ¬. Чтобы доказать это, рассмотрим три операции теории множеств: дополнение, объединение и пересечение.

Для данного множества А, которое содержится в другом множестве В, дополнением множества А до В называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не А. Например, дополнением множества гласных {а, е, i, о, и} английского алфавита является множество согласных. Рассмотрим операции объединения и пересечения. Для данных множеств X и Y их пересечение X 

 Y определяется как множество элементов, одновременно принадлежащих X и Y. Например, если X — множество четных чисел 0, 2, 4, 6, 8, 10…, а Y — множество чисел, кратных трем, 0, 3, 6, 9, 12, 15 …, то чтобы найти их пересечение, нужно определить их общие элементы: ими будут 0, 6, 12, 18…, то есть числа, кратные шести. Объединением множеств X U Y называется множество, которому принадлежат все элементы X и все элементы Y. В предыдущем примере первыми элементами объединения X и Y будут 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9…

Похожесть символов, обозначающих пересечение двух множеств (

) и конъюнкцию двух высказываний (), а также символов, обозначающих объединение двух множеств (U) и дизъюнкцию двух высказываний (V), вовсе не случайна. Если сопоставить свойствам Р и Q множества чисел, обладающих этими свойствами, например X и Y, то числа, обладающие свойствами Р и Q одновременно, будут элементами пересечения множеств X  Y, а числа, обладающие свойством Р или Q, то есть как минимум одним из этих двух свойств, будут принадлежать объединению множеств X U Y. Дополнение множества, в свою очередь, соответствует отрицанию высказывания. Для представления дополнений, объединений и пересечений множеств очень удобно использовать диаграммы, созданные британским математиком и философом Джоном Венном в 1880 году. С их помощью можно доказать, что конъюнкция свойств Р и Q равносильна отрицанию дизъюнкции отрицаний Р и Q, иными словами, Р  Q = ¬(¬Р V ¬Q). Это свойство позволяет выразить  через V и ¬.

Рис. 1. Пересечение двух множеств, соответствующее конъюнкции P

 Q.

Рис. 2. Объединение двух множеств, соответствующее дизъюнкции Р V Q.

< image l:href="#"/>

Рис. 3. Дополнение множества, соответствующее отрицанию ¬Р.

Диаграммы Венна, на которых представлены операции пересечения (рис. 1), объединения (рис. 2) и дополнения (рис. 3) множеств.

Сделав замечание о том, как представляются выражение «для всех» и конъюнкция высказываний (логическое «и»), рассмотрим, как переводятся в формальную систему арифметики некоторые аксиомы Пеано. Первая аксиома Пеано звучит так: «Ноль есть натуральное число». Эта аксиома не требует перевода, так как мы включили символ 0 в созданный нами язык. Перейдем ко второй аксиоме: «Каждое натуральное число имеет число, следующее за ним». В этой аксиоме фигурируют две переменные: рассматриваемое натуральное число, которое мы будем обозначать через х, и следующее за ним, которое будем обозначать через у. Вспомним, что число, следующее за данным, записывается с помощью буквы s, которая ставится перед этим числом, и выражается формулой у = sx, то есть «у равно числу, следующему за х». Следующий шаг заключается в том, что высказывание «каждое натуральное число» равносильно высказыванию «для всех натуральных чисел», и в этом контексте слово «имеет» означает «существует». Таким образом, аксиома принимает вид: «Для всякого натурального числа х существует натуральное число у такое, что у = sx». Если бы мы могли использовать символ

, то на этом можно было бы остановиться: аксиома записывалась бы как xy(y = sx) — скобки мы использовали, чтобы выделить свойство, которым обладают числа х и у. Так как этот символ применить нельзя, нужно выполнить еще одно действие: так как «для всякого натурального числа х существует натуральное число у такое, что у = sx» равносильно «не существует натурального числа х такого, что для него не существует натурального числа у такого, что у = sx», и вторая аксиома Пеано будет записываться так: ¬

ху (у = sx). После столь подробных объяснений читатель может самостоятельно убедиться в том, что третья аксиома Пеано, «0 не следует ни за каким натуральным числом», соответствует выражению ¬

х (sx = 0).

* * *

ЧЕТВЕРТАЯ АКСИОМА ПЕАНО

Переведем в формальную систему арифметики четвертую аксиому Пеано, которая гласит: «за двумя различными натуральными числами следуют различные натуральные числа». Сначала определим переменные, используемые в высказывании: это два натуральных числа, х и у. Аксиома гласит, что не могут одновременно выполняться два следующих условия: х и у различны, следующие за ними числа совпадают. Иными словами, не существует чисел х и у таких, что:

1) х отличается от у;

2) число, следующее за х, равно числу, следующему за у.

Если бы символ конъюнкции был частью определенного нами языка, то эта аксиома записывалась бы так:

Так как использовать символ конъюнкции нельзя, нужно переписать это выражение, применяя функции отрицания и дизъюнкции. С учетом того, что отрицание отрицания высказывания равносильно исходному высказыванию, четвертая аксиома Пеано примет вид:

* * *

Благодаря описанному выше процессу арифметика была очищена от значений и сведена к формальному каркасу. Теперь ее аксиомы являются исключительно последовательностями абстрактных символов, а доказательства превратились в упражнения по комбинаторике. Однако мы по-прежнему можем сформулировать высказывания со смыслом: например, мы можем сказать «вторая аксиома Пеано длиннее третьей», «квантор существования упоминается во второй аксиоме Пеано два раза» или «формула ¬(0 = 1) является теоремой арифметики». Важно, что здесь речь идет уже не о формализованных высказываниях языка L, а о фразах на русском языке, которые относятся к формулам L. В этих фразах говорится уже не о числах, а о высказываниях о числах, таким образом, они выходят за пределы математики в область метаматематики. Этот переход подобен ситуации, когда один из героев романа начинает писать свой роман. Подобно тому, как литература порой превращается в металитературу, математика может превратиться в метаматематику.

Одним из важнейших открытий Гильберта было проведение четкого различия между уровнями языка, к которым принадлежат различные высказывания. Представьте себе урок английского языка, на котором учитель по-русски объясняет тонкости значения какого-то слова. В этот момент используются два языка: английский, который изучают ученики, и русский, который они используют в качестве инструмента. Это же происходит и с фразой вида «формула ¬

х ¬y (y = sx) длиннее, чем формула ¬

х (sx = 0)» — в ней сочетаются последовательности символов языка L и выражения «формула» и «длиннее», принадлежащие не к языку L, а к метаязыку, который мы используем, чтобы описать формальную систему, так сказать, извне. Термины «ноль», «следующее» и «равно» принадлежат к языку L, где они записываются как 0, s и = соответственно, однако слова «формула», «доказательство» и «истинный» принадлежат метаязыку и невыразимы на языке L.

Следовательно, при формализации арифметики все эти высказывания в рамках самой арифметики теряют смысл.

Но какое отношение все это имеет к парадоксам? Ведь целью программы Гильберта было избавить от них математику. Как мы отмечали в предыдущей главе, многие парадоксы связаны с самоотносимостью, которая вполне имеет право на существование в естественных языках, но нет никаких причин для того, чтобы она сохранялась в искусственных языках формальных систем. Когда мы озвучиваем парадокс Рассела на русском языке, нам кажется вполне логичным, что существует два класса множеств: одни принадлежат сами себе, другие — нет. Однако в формальной системе отношение принадлежности, примененное к двум переменным одного и того же типа, нарушает правила грамматики языка. Еще более интересным является парадокс лжеца: «эта фраза ложна». Чтобы эту фразу можно было рассматривать всерьез, формальная система должна не только допускать самоотносимость, но и содержать свойство «быть истинным», которое можно будет выразить средствами самого языка, а не только метаязыка. Гильберт ожидал, что эти две ситуации никогда не произойдут одновременно, если формализация арифметики будет проведена должным образом.