Возможно, он знал, что делал, когда повел ее в ресторан, куда ходили только японцы. Возможно, он не сомневался в своем обаянии. Если ему не удастся поразить спутницу начитанностью и рассказами о своих путешествиях, он еще может спасти свидание, удивив ее одним из экзотических блюд. Когда официантка, не столь красивая, как того требует история, осведомилась о выборе десерта, все складывалось благополучно. Он немного знал японский, поэтому когда официантка спросила, как следует приготовить чайный трюфель: «со сливками, без сливок или как-то еще», мужчина, хоть и был несколько смущен, тем не менее решительно сказал: «Как-то еще». Вскоре официантка вернулась и, улыбаясь, подала тарелку трюфелей, на которой было налито совсем немного сливок, не касавшихся самого блюда. Мужчина и женщина посмотрели друг на друга и одновременно сказали: «Проклятые азиаты! Им неизвестен принцип непротиворечивости».

Несмотря на внешние различия, все множества, которые мы рассмотрели до этого, обладали одним общим свойством: для любого элемента и любого множества на вопрос «Принадлежит ли этот элемент множеству?» можно было дать только один ответ: да или нет. Описание множества могло быть каким угодно сложным, но ответом на этот вопрос обязательно было бы «да» или «нет». Именно это произошло в примере с числами, десятичная запись которых содержит все возможные последовательности и о которых мы рассказали в предыдущей главе. Неизвестно, принадлежит этому множеству или нет, но в любом случае на этот вопрос можно дать только один ответ. Предложения логики также подчиняются этой схеме: они либо истинны, либо ложны, и любая другая возможность исключается. Более того, два основных парадокса, которые мы рассмотрели (парадокс Рассела и парадокс лжеца), возникают именно тогда, когда даже с теоретической точки зрения невозможно ответить на вопрос «да» или «нет», невозможно определить, принадлежит некий элемент множеству или нет. Дело не в том, что закон исключенного третьего допускает исключения, а в том, что множество всех множеств, которые не являются элементами самого себя, и выражение «эта фраза ложна» формально некорректны, потому что отношение принадлежности справедливо только для объектов разных типов, а также потому, что понятие истинности принадлежит не языку, а метаязыку.

В некотором смысле теория множеств и логика находятся на вершине отвесной скалы: истинное расположено на самом краю, и достаточно легкого дуновения ветерка, чтобы отправиться в свободное падение по направлению к ложному. Однако большую часть земной поверхности занимают не отвесные скалы, а пологие склоны.

Несколько лет назад во многих странах произвела настоящий фурор настольная игра Scattergories. В этой игре нужно выбрать любую букву алфавита, а затем записать слова из разных областей, которые начинаются с этой буквы. Например, если нам дан список «Спорт. Названия песен. Части тела. Национальная кухня. Оскорбления» и после броска игральной кости, которая имеет форму икосаэдра, выпала буква «К», ответ может звучать так: «Кёрлинг. «Катюша». Колено. Кулебяка. Кретин!». В рекламе игры Scattergories расстроенный мальчик уходит из дома, унося игру с собой, потому что его друзья сказали, что «корабль» не относится к категории «морские животные». В конце концов они решают уступить ему, так как хотят продолжить игру, но в следующем туре мальчик вновь принимается за старое: когда выпадает буква «О», он спрашивает друзей: «А осьминога можно назвать домашним животным?»

В то время как некоторых живых существ затруднительно причислить к животным, множество домашних животных определено еще хуже: к нему, конечно же, принадлежат кошки и собаки, и так же совершенно однозначно в него не входят волки и слоны. Однако хотя некоторые причислят тарантулов к множеству «животных, к которым я не хочу подходить ближе, чем на километр», другие развлекаются тем, что бросают тарантулам сверчков между прутьями клетки. Так же нечетко, как и множество домашних животных, определены и другие множества, с которыми мы имеем дело каждый день, например множество красивых людей, хороших ресторанов и смешных шуток. Первым предложил теорию, описывающую подобные ситуации, польский логик Ян Лукасевич (1878–1956). В 1917 году он представил трехзначную логику, в которой высказывания могли быть не только истинными или ложными, но и «возможными». Например, человек ростом 1,50 м низкий, человек ростом 2 м — высокий, а тот, чей рост составляет 1,75 м, является «возможно, высоким» или «возможно, низким» — все зависит от того, с кем мы его сравниваем: с пигмеями или игроками НБА.

* * *

* * *

Включение в перечень возможных значений истинности значения «возможно» стало настоящим прорывом за пределы черно-белого мира классической логики.

Однако этого прорыва оказалось недостаточно: значение «возможно» само по себе никак не помогает нам принимать решения. Допустим, что журналист решил подать в отставку после смены редакционной политики издания. Обозначим через Р высказывание «я не согласен с новой политикой редакции». Следовательно, классическое решение будет выглядеть так: «Если Р истинно, я ухожу» и «Если Р ложно, я остаюсь». Так как любое решение всегда сопровождается множеством тонкостей, журналист с радостью согласился бы иметь возможность выбора из трех вариантов.

Но как в этом случае следует понимать значение «возможно»? Если Р возможно, то нужно уходить в отставку или оставаться? Что отделяет одно решение от другого? Если мы хотим, чтобы наша логика позволяла принимать подобные решения, необходим более высокий уровень точности.

И здесь на сцену выходит профессор Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде, который в 1965 году предположил, что значение принадлежности элемента множеству или значение истинности высказывания может описываться любым числом, лежащим на интервале от 0 до 1. Таким образом, игроки в Scattergories могут установить, что правильными ответами будут, например, только те, что принадлежат рассматриваемому семантическому полю более чем на 0,6, а журналист может решить уйти в отставку, если степень его несогласия с новой редакционной политикой будет превышать, допустим, 0,45. Заде обозначил новые множества английским словом fuzzy, которое можно перевести как «нечеткое, не имеющее четко обозначенных пределов». Следовательно, на вопрос о принадлежности элемента нечеткому множеству существует бесконечно много ответов.

Создатель нечеткой логики Лотфи Заде

(источник: Вольфганг Хюнше).

Читатель, возможно, поддастся искушению интерпретировать нечеткие множества в терминах теории вероятностей. Возможно, в этом случае объяснение станет более понятным, но говорить, что степень принадлежности элемента к множеству является вероятностью того, что он принадлежит к этому множеству, некорректно — это идет вразрез с духом нечеткой логики, предложенной Заде. Посмотрим, что происходит, когда мы бросаем в воздух монету. Мыс детства знаем, что вероятность выпадания решки равна 50 %, и это означает, что если мы подбросим монету много раз, например 10 тысяч, то примерно в половине случаев выпадет орел, в половине — решка. Но результат каждого броска будет единственным: орел или решка. Вероятность, по меньшей мере в упрощенной трактовке, отражает ограниченность наших знаний о ситуации: если бы нам с абсолютной точностью была известна сила, с которой мы подбросили монету, если бы мы могли уподобиться богу Эолу и повелевать ветрами, то смогли бы с точностью предсказать результат броска монеты. Это означает, что глубинный принцип, лежащий в основе теории вероятностей в ее простейшем понимании, совпадает с принципом классической логики, в то время как в мире нечетких множеств при броске монеты может выпасть решка, скорее решка, чем орел, скорее орел, чем решка, орел или любое из промежуточных значений, выраженных с бесконечной точностью.