Ученые заметили, что существуют задачи, найти решение которых очень сложно, а подтвердить его правильность относительно просто. Вернемся к примеру с отелем из главы 2, который на этот раз содержит конечное число комнат. Предположим, что группа из четырехсот человек хочет остановиться в отеле в те дни, когда там будет свободно всего сто номеров. Выбрать сто человек из четырехсот, не следуя какому-либо критерию, очень просто, однако заявка от группы сопровождалась одной странной просьбой: некоторые путешественники настолько не ладили друг с другом, что их нельзя было размещать в соседних номерах. Не стоит и думать, что эту задачу можно решить перебором всех возможных выборок ста человек из четырехсот, но при этом для любого предложенного решения достаточно будет подтвердить, что никакие два путешественника, которые не ладят друг с другом, не будут поселены в соседние номера. С этой задачей сможет справиться администратор отеля даже без помощи компьютера всего за несколько часов. Такие задачи, которые сложно решить, но легко проверить, математики относят к классу NP.

Пока что мы говорили о сложности задач как о неотъемлемой части их формулировки. Эта точка зрения априори ошибочна, так как сложной или простой является не задача сама по себе, а наш способ ее решения. Возможно, найденное нами решение требует выполнения множества операций, но при этом существует другое, более простое. В этом случае наше решение относится к классу NP, в то время как сама задача — к классу Р. Решение задачи о коммивояжере заключалось в переборе всех возможных маршрутов. Однако в таблице показано, что при смене порядка обхода городов на противоположный длина маршрута не меняется. Следовательно, выбор маршрута Париж — Лондон — Берлин — Рим — Париж ничем не отличается от маршрута Париж — Рим — Берлин — Лондон — Париж, поэтому достаточно рассмотреть половину исходных случаев. На практике подобное упрощение не слишком полезно, так как половина огромного числа по-прежнему остается огромным числом. Этот аспект имеет скорее философский характер: если в первом решении мы упустили из вида столь тривиальную деталь, то сколько подобных моментов мы еще не учли? Мы сказали, что наша исходная точка зрения априори ошибочна, поскольку неизвестно, существуют ли задачи, для которых сложность является неотъемлемым свойством их формулировки, а не решений. К числу таких задач, возможно, относится задача о коммивояжере, пока что никому не удалось доказать, что все ее решения являются сложными.

* * *

* * *

В связи с этим определением сложности возникает еще одно замечание: в подобной трактовке не проводится различие между задачами, для решения которых требуется одинаковое число операций. По нашему определению, запомнить пароль из двенадцати символов — это простая или сложная задача независимо от того, из каких символов состоит пароль, так как для этого неизменно потребуется двенадцать действий: запомнить первый символ, второй, третий и т. д. до двенадцатого.

Однако никто, будучи в здравом уме, не скажет, что запомнить пароли 111111111111 и 6u0yfz3eq85s одинаково просто. Первый пароль можно сжать до слов «12 единиц», а второй пароль можно описать только одним способом — посимвольно. В середине 70-х годов советский математик Андрей Колмогоров на основе этого примера ввел новое определение сложности, предложив заменить число операций на число инструкций. Сложность последовательности символов стала определяться как минимальная длина алгоритма, необходимого для ее генерации.

Представим себе машину Тьюринга, задача которой — записать определенную последовательность нулей и единиц, которую мы назовем s. Как вы увидели из предыдущей главы, машине нужно дать последовательность инструкций вида «Если считано 1, сместиться вправо и перейти к инструкции № 2». В этом упрощенном варианте мы говорим, что сложностью s является натуральное число n, если существует машина Тьюринга, описанная посредством n инструкций, выходным значением которой является s, и если никакая машина не может сгенерировать заданную последовательность за меньшее число инструкций. Таким образом определяется функция К (по первой букве фамилии Колмогорова), которая сопоставляет каждой последовательности нулей и единиц ее сложность. Рассмотрим последовательность 1111… Если подать на вход машины Тьюринга ленту, на которой записаны только нули и единственная инструкция которой гласит «Инструкция № 1: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 1. Если считан 1, сместиться вправо и перейти к инструкции № 1», то в результате мы получим последовательность 1111… Это означает, что заданная последовательность имеет минимально возможную сложность К(s) = 1, так как для ее описания достаточно единственной инструкции.

Живительное следствие этого определения сложности состоит в том, что компьютеры не могут генерировать бесконечные случайные последовательности нулей и единиц. Интуитивно понятно, что последовательность является случайной, когда невозможно предсказать, каким будет ее следующий элемент. Это означает, что описание случайной последовательности не может быть короче, чем сама последовательность.

Иными словами, ее сложность бесконечно велика. Однако все компьютерные программы содержат конечное число инструкций (вспомните определение машины Тьюринга из предыдущей главы). Следовательно, генерируемые ими последовательности нулей и единиц, сколь случайными бы они ни казались, всегда будут иметь конечную сложность. Компьютеры могут воспроизводить только псевдослучайные последовательности, поэтому для генерирования истинно случайных последовательностей многие физики пытаются использовать недетерминированность атомов.

С другой стороны, определение сложности по Колмогорову во многом схоже с парадоксом библиотекаря, о котором мы рассказали в конце главы 2, где рассматривается множество натуральных чисел, которые можно описать пятнадцатью словами. Так как число фраз, состоящих из пятнадцати слов, является конечным, множество таких чисел также будет конечным. Следовательно, среди всех чисел, не принадлежащих этому множеству, можно определить наименьшее. Обозначим его за n. Однако в этом случае n будет «наименьшим числом, которое нельзя описать менее чем пятнадцатью словами» — это описание содержит всего девять слов!

Логично задаться вопросом, не приведет ли введенное нами определение сложности к противоречиям. Ответ удивляет: если бы функция К была вычислимой, то есть если бы существовала машина Тьюринга, способная вычислить для данной последовательности нулей и единиц s сложность К(s), то рассуждения, аналогичные тем, что мы использовали при решении проблемы остановки, позволили бы воспроизвести парадокс библиотекаря на формальном языке арифметики. Следовательно, единственно возможный ответ таков: сложность не является вычислимой, и этого достаточно для разрешения парадокса библиотекаря, который оставался открытым: выражение «описать пятнадцатью словами» некорректно, так как принадлежит не к языку, а к метаязыку.