Графическое изображение деформации пространства, вызванной силой земного тяготения.

Эйнштейна совершенно не волновало, что его теория относительности разрушила мечты о евклидовом космосе, поскольку со временем он понял, что геометрия носит сугубо формальный характер. В первой главе книги «О специальной и общей теории относительности» — научно-популярном изложении результатов своих исследований, опубликованном в 1920 году, — Эйнштейн объясняет, что геометрия основана на ряде понятий («точка», «плоскость» и «прямая»), которые мы четко представляем себе, а также на определенных простых предложениях, аксиомах, которые кажутся нам истинными, если трактовать их согласно нашим представлениям о понятиях геометрии, к которым они относятся. Исходя из этих основных принципов остальные предложения доказываются методом дедукции: если все промежуточные рассуждения корректны, то истинность вывода зависит исключительно от истинности исходных посылок. Таким образом, чтобы ответить на вопрос, какую форму имеет наш мир, необходимо знать, верны пять постулатов Евклида или нет. Однако найти ответ на этот вопрос методами геометрии нельзя. Более того, этот вопрос не имеет смысла.

Эйнштейн продолжал: бесполезно пытаться доказать, действительно ли через две точки можно провести только одну прямую. Все, что нам известно, — это то, что в геометрии идет речь о понятиях «точка» и «прямая линия», которые связаны следующим образом: две различные «точки» определяют единственную «прямую».

Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, сначала нужно установить их соответствие с реальностью: если всякий раз, когда Евклид упоминает «точку» и «прямую линию», мы будем трактовать эти понятия привычным нам способом, то аксиома «через две точки можно провести прямую» будет корректной, и мы сможем подтвердить ее истинность экспериментально. Однако ничто не указывает, что в геометрии эти понятия нужно понимать точно так же, как и в обычной жизни, — напротив, геометрия есть не более чем множество абстрактных идей и отношений между ними.

Одна из последних фотографий Альберта Эйнштейна, сделанная около 1950 года.

Рассмотрим пример, который впервые упоминается в статьях итальянского геометра Эудженио Бельтрами (1835–1900). Пусть пространство, в котором находятся объекты, заключено внутри круга (не включая его границу). Предложим следующее простое соответствие: когда Евклид говорит о «точке», мы будем представлять точки внутри круга, а когда он говорит о «прямой линии», мы будем представлять себе отрезки, начало и конец которых лежат на границе круга. В такой трактовке две «точки» определяют единственную «прямую линию» и, следовательно, первый постулат Евклида будет выполняться. Перед тем как рассмотреть пятый постулат, напомним, что две «прямые» параллельны, если они никогда не пересекаются.

Возьмем произвольную «точку» внутри круга, например его центр, и произвольную «прямую линию». Соединив «точку» с концами отрезка («прямой линии»), получим две «прямые», которые проходят через нее и параллельны исходной прямой, так как гипотетические точки пересечения этих прямых находятся на границе круга, а она не принадлежит пространству! Следовательно, в модели Бельтрами постулат о параллельности прямых не выполняется.

Неевклидова модель Эудженио Бельтрами.

Обратите внимание, что выше слова «точка» и «прямая линия» в одних случаях заключены в кавычки, а в других — нет. Таким образом мы проводим различие между абстрактными понятиями «точки» и «прямой линии», которые могут иметь различные толкования, и реальными точками и прямыми, на основе которых были определены эти понятия. Тот, кто считает, что описанная нами неевклидова модель не более чем математическая игра, возможно, изменит свою точку зрения после краткого экскурса в биологию. Расстояние, видимое человеческим глазом, в лучшем случае составляет несколько километров. Как следствие, все прямые, которые пересекаются за границей видимой нами области, выглядят для нас одинаково, а все, что мы видим вокруг себя, в достаточной мере соответствует модели, предложенной Бельтрами. В конце концов, какой будет разница между двумя прямыми, которые пересекаются в Нью-Йорке, и прямыми, которые пересекаются в Лос-Анджелесе, для европейца? Маленький мир человека не описывается законами геометрии Евклида. Однако человеческая философия не ограничивается этим маленьким миром.

Мы выбрали модель Бельтрами произвольно, из множества возможных. В том же самом пространстве мы можем назвать «прямыми» дуги окружности — в этом случае не будет выполняться первый постулат, так как две данные точки можно будет соединить неограниченным числом способов. Чтобы однозначно определить окружность, требуются три точки, и именно возможность выбрать третью точку произвольно и будет препятствовать выполнению постулата. Если в некоторых моделях первый постулат выполняется, а в других — нет, то истинность утверждения, согласно которому через две «точки» проходит единственная «прямая», зависит от значения понятий «точка» и «прямая», и задаваться вопросом о его истинности столь же нелепо, как и размышлять об истинности пророчества «В году А родится В», где читатель может заменить А и В произвольными значениями.

Пространство, в котором две разные прямые соединяют точки А и В и в котором не выполняется первый постулат Евклида.

Именно это мы имели в виду, когда говорили, что Эйнштейн очень четко понимал исключительно формальный характер геометрии. Несмотря на это его интересовали не логические отношения между понятиями, а конкретный вопрос о том, как объяснить действие сил на расстоянии, не используя понятие эфира. Для Эйнштейна «точками» были точки пространства, положение которых определялось координатами, указывающими их местоположение и момент времени, когда мы их рассматриваем. «Прямыми» для него были кратчайшие пути между двумя точками, вдоль которых движется луч света. Если для того чтобы объяснить природу пространства, физику нужно отказаться от постулата о параллельности прямых, то почему бы не сделать этого? В мае 1919 года, спустя четыре года после того, как Эйнштейн определил тяготение как меру кривизны Вселенной, экспедиции на африканский остров Принсипи удалось обнаружить, как отклоняется луч света звезд, близких к Солнцу и видимых только во время солнечных затмений. Именно эти эксперименты вкупе с теоретическими исследованиями, а не использование неевклидовой геометрии, позволили подтвердить корректность теории относительности.

Разумеется, когда Евклид работал над «Началами», он не думал о том, что его «точки» и «прямые» можно заменить чем-то другим. Для него все составляющие геометрии были наполнены физическим значением. Доказательством этому служат формулировки аксиом, которые, в частности, гласят, что для двух данных точек можно провести соединяющую их прямую, а не что для всякой пары «точек» существует единственная «прямая», их содержащая, — как мы обычно понимаем эту аксиому. Различие между двумя этими формулировками заключается в этом едва заметном переходе от точек к «точкам» и от «можно провести» к «существует». Именно этот переход привел к тому, что геометрия обрела абстрактный характер, и родилась математическая логика.