Многие свойства фигур, которые изучаются в геометрии, зависят от их параметров: величин углов, расстояний, перпендикулярности прямых, площади фигур, объема тел и так далее. Однако теория графов и топология помогли выявить геометрические закономерности, которые не зависят ни от параметров геометрических фигур, ни от их формы. В этой короткой главе мы расскажем об известной формуле Эйлера и обнаружим множество ее удивительных следствий, которые проявляются в многогранниках и мозаиках.

В формуле Декарта 1640 года и формуле Эйлера 1752 года фигурируют только грани, ребра и вершины, поэтому эти формулы применимы к множеству различных фигур и по-прежнему выполняются даже после определенных преобразований.

Эти формулы дали начало новому разделу математики — топологии, которая бурно развивалась в XIX веке. Август Фердинанд Мёбиус, Бернхард Риман, Анри Пуанкаре, Ян Брауэр, Соломон Лефшец и многие другие математики, которые работали в различных областях, нашли в этой «новой геометрии» фундаментальную основу для изучения кривых, поверхностей, пространств, функций. Топология помогла определить свойства, которые нельзя было формализовать в рамках традиционной геометрии.

Август Фердинанд Мёбиус — один из математиков XIX века, интересовавшихся топологией.

Если говорить кратко, то топология свободна от жестких структур евклидовой и проективной геометрии. С помощью «непрерывных преобразований» стало возможным моделировать новые фигуры и определять новые категории преобразований. Представим себе треугольник, нарисованный на поверхности шара. При сжатии шара (таком, что шар не ломается) треугольник будет принимать различную форму. Будут изменяться углы и длины сторон, но «сущность» треугольника будет оставаться неизменной: это по-прежнему будет фигура, определяемая тремя точками и тремя отрезками, соединяющими эти точки. Чтобы начать мыслить с топологической точки зрения, нужно представить, что все фигуры сделаны из резины и могут деформироваться. Так, деформацией сферы невозможно получить бублик, но зато бублик будет эквивалентен… чайной чашке.

Рассмотрим выпуклый п-угольник с вершинами V, V2,..., Vn и ребрами V1V2,..., V2V3,...,Vn-1Vn, VnV1.

Вне зависимости от длин сторон, величин углов, кривизны ребер и прочих параметров, число ребер будет всегда равно числу вершин многоугольника. Это соотношение столь тривиально, что на него можно даже не обратить внимание. Если сохранить число вершин неизменным и заменить одно из прямых ребер любой простой кривой, это соотношение не изменится.

Перейдем в трехмерное пространство и рассмотрим произвольный выпуклый многогранник, который имеет V вершин, А ребер и С граней. Если посмотреть на этот многогранник изнутри и спроецировать его на большую сферу, внутри которой он находится, то на эту сферу окажутся нанесены линии и соответствующие вершины так, что значения V, А и С останутся неизменными.

Многограннику также можно поставить в соответствие плоский граф, который будет иметь то же число ребер А, то же число вершин V и то же число граней С.

Можно заметить, что при С = 2 получится единственный многоугольник и V = А, либо, что аналогично, С + V = А + 2. Если при С — n число вершин равно V, число ребер — Аn, и мы предположим (по индукции), что n + Vn = Аn + 2, то при С = n + 1 нужно заострить внимание на грани под номером n + 1. Когда число граней станет равным n + 1, к графу с n гранями, Vn вершинами и Аn ребрами добавится некоторое число вершин К и К + 1 ребро. Следовательно,

C + Vn+1 = n + 1 + Vn + K = (n + Vn) + (K + 1) = (An + 2) + (K + 1) = (An + K + 1) + 2 = An+1 + 2.

Так доказывается знаменитая формула Эйлера, которая звучит следующим образом: в любом выпуклом многограннике выполняется соотношение

С + V = A + 2.

Этот результат может показаться тривиальным, но если немного подумать, то мы увидим, что это соотношение поистине удивительно: оно выполняется для любого выпуклого многогранника независимо от формы его граней, углов на гранях и углов между гранями, от длин ребер и других параметров. Формула, которая выполняется для бесконечно большого числа разнообразных фигур, не может не привлекать внимание. Здесь что-то не так. Практически не существует формул, которые справедливы для столь непохожих фигур.