Шрифт:
* * *
ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРАВИЛЬНЫМ МНОГОГРАННИКАМ
Пять правильных многогранников необязательно изображать в перспективе — можно построить соответствующие им плоские графы. Значения V, А и С для следующих фигур представлены в таблице ниже.
Заметим, что в полученной нами теореме общее соотношение Эйлера сочетается с характеристиками многоугольников, ограничивающих часть пространства, образующего многогранник.
* * *
Исходя из полученного результата (всегда будет существовать грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника) и из определения правильного многогранника получим, что единственно возможные правильные многогранники будут полностью образованы либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками.
Если все грани многогранника — равносторонние треугольники (их углы равны 60°), формула (*) сводится к 3С3 = 12 + 2V4 + 4V5. В тетраэдре С3 = 4 (и, разумеется, V3 = 4, V4 = V5 = 0). Для октаэдра V4 = 6, V3 = V5 = 0 и С3 = 8. В икосаэдре С3 = 20 и V5 = 12.
Если все грани многогранника — квадраты, то в его вершинах могут сходиться только три ребра, поэтому V4 = V5 = 0 и по формуле (*) 2С4 = 12, то есть С4 = 6. Таким образом, этот многогранник — куб.
Если все грани многогранника — правильные пятиугольники, то степень его вершин может равняться только 3. По формуле (*) С5 = 12 — это додекаэдр.
* * *
ТОЧНЫЙ ПОДСЧЕТ
Пусть Р — выпуклый многогранник с r(Р) гранями. Рассмотрим два его параметра:
r(Р) — количество натуральных чисел i, таких что в Р существует грань с i ребрами;
К(Р) — число сторон грани Р с наибольшим числом вершин или ребер.
Так, в кубе Р r(Р) = 1, К(Р) = 4. Для пирамиды Р, в основании которой лежит пятиугольник, r(Р) = 2, К(Р) = 5.
Если многоугольник Р имеет грань, число сторон которой равно К(Р), так как каждая из этих сторон является ребром другой грани, то общее число граней будет равно как минимум К(Р) + 1, то есть
С(Р) >= К(Р) + 1.
Так как r(Р) не может быть больше, чем число элементов множества {3, 4, 5, К(Р)}, то
r(Р) = < К(Р) — 2.
На основании вышеприведенных неравенств для С(Р) и r(Р) имеем:
С(Р) — r(Р) >= К(Р) + 1 — (К(Р) — 2) = 3.
Если бы все грани многогранника были бы различны, то выполнялось бы равенство С(Р) = r(Р) + 3, что невозможно.
* * *
Если вы не привыкли следовать правилам, то возможно, что вы задавались вопросом, существуют ли фигуры без повторяющихся элементов. Например, существует ли многогранник, все стороны которого являются различными многоугольниками: один треугольник, один четырехугольник, один пятиугольник и так далее. Это был бы образцовый многогранник — он мог бы поворачиваться разными сторонами и демонстрировать разные многоугольники. Живительно, но подобный многоугольник не может существовать. И этому есть очень красивое доказательство, в котором используются методы комбинаторики.
Представим на мгновение все возможные многогранники — правильные или неправильные. Если мы нарисуем все эти многогранники, то заметим, что всегда существует как минимум несколько граней, которые являются выпуклыми многоугольниками с одинаковым числом сторон. Чтобы ограничить многоугольниками какую-то область пространства, необходимо чтобы как минимум несколько из них повторялись.
Графы и мозаики
Рассмотрим три разных мозаики, которые представлены на рисунке. Все они, несомненно, знакомы вам, так как часто встречаются в повседневной жизни.
Это четырехугольная, треугольная и шестиугольная мозаики соответственно. Каждая из них представляет собой геометрический граф (определение геометрического графа приводилось выше). Число граней в этих графах может увеличиваться бесконечно: любым из этих графов можно заполнить всю плоскость. Заметим, что при увеличении мозаики для вершин, находящихся внутри, число ребер остается неизменным, и каждая грань ограничивается одним и тем же числом ребер за исключением бесконечно удаленных граней. Если на каждом шаге увеличения мозаики мы будем подсчитывать число вершин V и число вершин Vc, расположенных на краю (во внешнем цикле графа), то увидим, что с ростом V отношение Vc/V стремится к нулю.
Это справедливо для всех трех рассмотренных типов мозаики. Далее мы продемонстрируем удивительный результат, основанный на следующем определении.
Правильная мозаика — это геометрический граф, который может покрыть плоскость; при этом число ребер а, сходящихся в каждой вершине, и число ребер Ь >= 3 каждой грани являются постоянными (за исключением внешних граней), причем Vc/V стремится к нулю.