Дальнейшие исследования сначала пошли по линии отыскания частных решений, т. е. решений, содержащих менее пяти произвольных постоянных, или, иначе, когда начальные значения искомых функций не остаются произвольными, но между ними существуют некоторые соотношения. Ряд русских ученых включились в эти исследования. Были получены интересные результаты: В. А. Стеклов [202], Д. Н. Бобылев [203], С. А. Чаплыгин [204] идр. За границей случай интегрируемости такого рода был найден В. Гессом [205]. И до настоящего времени делаются попытки отыскания интегрируемых частных случаев; иногда потом выясняется (например, у П. Шиффа, К. Агости- нелли и др.), что «решение» неверно, т. е. не удовлетворяет дифференциальным уравнениям задачи [206].

После 1910 г. существенных результатов получено не было, пока в 1947 г. не появилось решение итальянца Д. Гриоли [189]. Нужны были какие-то новые возможности обнаружения случаев интегрируемости. Эти возможности появились благодаря исследованиям П. В. Харламова [209], приведшего систему шести уравнений задачи о вращении к системе двух уравнений, и Е. И. Харламовой, которая свела задачу к одному интегро-дифференциально- му уравнению. В 1959 г. Е. И. Харламова нашла свой новый случай интегрируемости [207].

А. Пуанкаре ввел понятие инвариантного соотношения для системы уравнений (иногда говорят: частного интег рала)

На основе этого определения П. В. Харламов предложил обобщенное понятие инвариантных соотношений, содержащих ряд параметров, и разработал метод построения точных решений с инвариантными соотношениями. При этом рассматривается некоторое обобщение задачи: вместо гироскопа, в котором действует только сила тяжести, можно взять гиростат, в котором имеются силы, дающие дополнительные линейные члены в уравнениях движения.

Инвариантные соотношения (некоторые из них представляют комбинации первых интегралов) берутся в виде полиномов первой, второй и более высокой степени относительно искомых функций. Таким образом классифицируются все полученные общие и частные решения. В книге Г. В. Горр и др. [206] приведена таблица всех этих решений, число которых оказалось равным двадцати. Среди них решение Ковалевской занимает одно из самых видных мест.

Случай Ковалевской имеет гораздо более сложное решение, чем два других случая общих решений и чем последующие случаи. Поэтому исследователи стали лучше представлять себе трудности общей задачи. Эта сложность в особенности побуждала развить геометрическую интерпретацию случая Ковалевской. Однако это было трудной задачей.

Для случая Эйлера имелись замечательные геометрические представления Пуансо: подвижный и неподвижный аксоиды, качение эллипсоида инерции по горизонтальной плоскости. Для случая Лагранжа геометрические интерпретации, данные Дарбу и другими учеными, носят уже более сложный характер.

Наглядному геометрическому истолкованию движений придавал большое значение H. Е. Жуковский. Он считал, что геометрическое толкование, или моделирование, дает возможность объяснить математическую истину каждому непосвященному, который хочет ее усвоить. Сам Жуков-

п

194

скии для случая Ковалевской дал интерпретацию вспомогательных переменных Si, s2 [208], общего же наглядного представления, аналогичного данному Пуаноо для случая Эйлера, не было.

Большое значение имеют исследования П. В. Харламова, развившего метод годографа на базе данных им кинематических уравнений [209]. В статье П. В. Харламова и Г. В. Мозалевской [210] дано геометрическое истолкование некоторых движений гироскопа Ковалевской. Рассматриваются неподвижный и подвижный годографы вектора угловой скорости тела; для разных интервалов значений параметров задачи получены многочисленные разнообразные формы движения.

Нужно заметить, что по задаче о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, существует обширная литература. Ученые не ограничиваются отысканием решений, но занимаются их анализом, исследуют различные свойства возможных форм движения. Проявлялся интерес и к случаю Ковалевской, детальной его разработке, рассмотрению частных случаев, когда решение сводится к элементарным функциям. Имеются также различные обобщения, например задача о гироскопе с жидким наполнением. Есть предложения по конструированию приборов, воспроизводящих движение, дающее случай Ковалевской. Один из приборов описывает Н. Б. Делоне:

«Примером такого движения является движение прямоугольного параллелепипеда размером

, подчиненного условию и подпертого в точке, лежащей на прямой, проходящей через центр тяжести параллельно ребру 2а и отстоящей от центра тяжести на расстояние Такая опора может быть сделана посредством спицы, пропущенной сквозь параллелепипед» [191].

Первая модель гироскопа Ковалевской была дана Г. А. Шварцем по просьбе Софьи Васильевны. Его прибор состоит из двух одинаковых параллельных цилиндров высоты 2Н, с радиусами основания R; расстояние 2b между осями цилиндров определяется формулой

(должно быть b>R). Неподвижная точка отстоит от центра тяжести тела на расстояние а, где . При этих условиях будет [13, с. 243].