Узнаем ли мы что-либо новое из сообщения, что за июлем следует август? Об этом событии все известно заранее, в нем отсутствует неопределенность, и потому в этом случае количество информации, содержащейся в слове «август», равно нулю.

А какое количество информации получали мы, извлекая шары из урн? Чтобы выразить ее точными цифрами, надо оценить неопределенность каждого опыта. Для этого теория информации привлекает на помощь формулу энтропии, о которой я вам сейчас расскажу.

Смысл информации и информация без смысла

И впрямь удивительный это город! Даже в простых шарах заключен здесь особый, глубокий смысл. А тут еще какая-то энтропия... Впрочем, размышлять пока некогда - наш новый знакомый продолжает рассказ:

– В науке часто бывает так: стоит найти новый подход к привычным явлениям, и то, что казалось сложным и необъяснимым, не подчиняющимся никаким законам, вдруг становится простым и понятным. Порой даже кажется странным, почему люди не могли так долго уловить эту, ставшую теперь очевидной связь. Важно только четко сформулировать задачу, найти правильную точку зрения, и сразу разрозненные, бессвязные понятия и явления вдруг вливаются в единую, стройную систему, подобно тому как из разбросанных в коре земного шара вкраплений различных металлов возникают изящные стальные птицы, сверхдальние ракеты и сложные комплексы «умных» машин.

Так, рожденная великим Менделеевым периодическая система элементов не только внесла строгий порядок в исследования и оценки всех известных в то время веществ, но и предрекла открытие новых элементов и новых, неизведанных свойств. Закон всемирного тяготения сразу позволил уяснить механику всего мироздания и «увидеть» без телескопа движение неизвестных планет3. А закон сохранения энергии не только объяснил причину неудач многочисленных изобретателей «вечного двигателя», но и предрек неизбежною тщетность всех их попыток на все времена. И вот в наши дни появилась теория информации, и рожденные ею понятия заставили с новой точки зрения оценить окружающий мир.

Информация... Это все формы общения людей, начиная с обычной беседы и чтения книг и кончая всеми видами телеграфной и телефонной связи и передачи в эфир. Это все сведения о течении физических, химических, биологических процессов, полученные путем исследования, анализа и «регистрации всеми видами ныне существующих и будущих приборов. Это, наконец, неисчерпаемые процессы авторегулирования, происходящие и в созданных человеком машинах и в организмах, рожденных самой природой, процессы, в основе которых лежит получение информации и ее обработка. Мы посылаем в космос спутники и космонавтов. Мы создаем гигантские ускорители, в которых мельчайшие частицы материи могут «с разгона» проникать в недра других частиц. С помощью телескопов мы изучаем миры, недоступные глазу. Микроскопы, рентгеновские аппараты и химические реактивы помогают проникнуть внутрь живых организмов и изучить их структуру вплоть до мельчайшего «атома жизни» - микроскопической клетки. Разные области, разные методы, а цель одна - добыть информацию. И все эти разнородные и сложные процессы, созданные и возникающие в бесконечном многообразии явлений, пришедшие и приходящие из разных областей знаний, вдруг объединились, увязались и нашли новое толкование в едином понятии «информация». А все потому, что мы научились измерять количество информации с помощью простой формулы:

I = P1log P1 + P2log P2 + ... Pnlog Pn.

Здесь значки P1, P2 ... Pп означают вероятности рассматриваемых событий, а log P1 и т. д.
– их логарифмы.

Так, например, в опыте с 6 черными и 4 белыми шарами P1 = 0,6 (60%), а P2 - 0,4 (40%). Значит, в этом случае количество информации будет равно:

I = 0,6·log 0,6 + 0,4·log 0,4.

Быть может, кто-нибудь из присутствующих давно не пользовался логарифмами? Не беда. Для этого существуют логарифмические таблицы. Зная число, по ним легко найти его логарифм. С помощью таблицы легко подсчитать, что:

I = 0,6·log 0,6 + 0,4·log 0,4 = 0,97.

(При расчете количества информации применяются двоичные логарифмы.)

А для случая с 1 белым и 9 черными шарами получим:

I = 0,1·log 0,1 + 0,9·log 0,9 = 0,47.

Таким образом, наши общие рассуждения о «неопределенности опыта» и о «мере неведенья» тех, кто проводит опыт, теперь выражаются точными числами. Но сами по себе числа мало о чем говорят.

Ведь нельзя сказать, что вес равен 10, - все дело в том, в каких выражается он единицах. Что это - 10 граммов или 10 тонн? Значит, для измерения информации тоже нужны какие-то единицы. Единицей времени служит время: час, минута, секунда. Единицей веса опять-таки служит вес. И все измерения производятся так же: давление сравнивается с давлением, температура - с температурой. Значит, и информацию нужно сравнивать с информацией.

За единицу количества информации принят самый простенький случай. Есть два возможных исхода - «или - или»; и каждый из них имеет одинаковую вероятность. Когда получено сообщение об исходе, одно «или» отпало и вы получили одну единицу количества информации - так называемый «бит». Например, в нашем ящике лежит 5 черных и 5 белых шаров. С равной вероятностью можно ожидать или черного, или белого шара. А по формуле Шеннона в этом случае получается:

I = 0,5·log20,5 + 0,5·log20,5 = - log22 = 1 бит.