Затем мы можем рассмотреть несколько различных способов деформации этого единообразного состояния. Если периодично трясти один из краев желе, оно начнет колебаться, или, другими словами, в нем будут распространяться колебательные волны. Эти упругие колебания в желе имеют непосредственный аналог в пространстве-времени, которое также допускает возможность распространения деформационных волн своей структуры, имеющих название «гравитационные волны». Можно также ограничиться статическим сжатием желе, надавливая в противоположных направлениях с двух сторон. Это действие, конечно, деформирует внутреннюю часть желе и притом анизотропным образом: одни направления будут сжиматься, а другие – растягиваться. Наконец, длинные волокна мяса внутри желе являются аналогами мировых линий материальных частиц в пространстве-времени (см. рис. 3). Можно представить, что желе в непосредственной близости от волокон мяса более насыщенное или, проще говоря, содержит большее количество питательных веществ, нежели обычное желе. Это аналогично тому, что пространство-время становится тем больше деформированным, чем ближе оно находится к распределенной массе-энергии.

Вернемся к общей теории относительности и определим понятие «деформированного» пространства-времени. Напомним сначала хроногеометрическую структуру «недеформированного» пространства-времени: ту, что имеет место в специальной теории относительности, в том виде, как она определена Пуанкаре и Минковским. Эта структура задается с помощью квадрата интервала между двумя точками пространства-времени, т. е. между двумя событиями. Квадрат интервала между любыми двумя точками получается как алгебраическая сумма четырех квадратов путем обобщения теоремы Пифагора: три из этих квадратов (разностей по длине, ширине и высоте между двумя событиями) входят в сумму со знаком плюс, а четвертый квадрат (разности временных показаний, умноженной на скорость света) – со знаком минус. Исходя из этого геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на квадрат интервала, равный +1, формирует в пространстве-времени не (гипер)сферу, а (гипер)поверхность, которая напоминает песочные часы, т. е. два конуса, соединенных узкой горловиной {67} . Структура такого «недеформированного» пространства-времени является однородной, т. е. одной и той же повсюду в пространстве-времени. Какое бы событие мы ни выбрали для локального изучения пространства-времени, вокруг него мы увидим одинаковую структуру. Кроме того, эта структура является изотропной в том смысле, что в пространстве-времени не существует направления, которое играло бы выделенную роль. Здесь читатель, который смотрит на образ шахматной доски с набором песочных часов, представляющим эту структуру (см. рис. 3), возможно, подумает, что она имеет привилегированное направление в каждой точке пространства-времени. Действительно, каждые песочные часы, казалось бы, обладают осью симметрии: вертикальной осью, проходящей через центр песочных часов, вокруг которой можно вращать данные песочные часы, визуально не меняя их положения. Однако в действительности это кажущееся существование привилегированного направления является артефактом визуализации пространства-времени в трехмерном пространстве, которое зрительное восприятие человека интуитивно интерпретирует как евклидово пространство. В самом деле, вертикальная ось в этой визуализации представляет собой мировую линию наблюдателя, который находится «в состоянии покоя» в пространстве, но имеет непрерывное существование во времени. С другой стороны, принцип относительности говорит нам, что такой наблюдатель не определяет привилегированную систему отсчета. Любые другие наблюдатели, движущиеся с постоянной скоростью по отношению к данному, будут видеть идентичную структуру пространства-времени. Мировые линии этих наблюдателей «в движении» (но движущихся медленнее, чем свет) будут прямыми, наклоненными под углом менее 45° по отношению к «вертикали». Как следствие, если рассматривать конкретные песочные часы, все прямые, проходящие через их центр и остающиеся «внутри» этих песочных часов (т. е. не пересекающие их поверхность), будут осями симметрии для них, и, таким образом, ни одна из них не будет играть выделенную роль. Такова однородная и изотропная структура недеформированного «желе» пространства-времени.

Что же такое хроногеометрическая структура «деформированного» пространства-времени (которое обычно называют «искривленным»)? Это структура, в которой «расстояние-время» между двумя событиями по-прежнему дается определенным «квадратом интервала», но в которой, в отличие от случая пространства-времени Минковского, этот квадрат интервала имеет очень сложное математическое выражение для двух далеких событий. Зато, если рассмотреть очень близкие друг к другу события (как в пространстве, так и во времени), квадрат интервала будет определяться достаточно простой математической формулой, хотя и более сложной по сравнению с соответствующей формулой для пространства-времени Минковского. Как понял Эйнштейн в 1912 г., квадрат интервала между двумя событиями в деформированном пространстве-времени весьма напоминает квадрат расстояния между двумя точками искривленной поверхности, вложенной в обычное евклидово пространство.

В качестве примера искривленной поверхности возьмем поверхность Земли. Если рассмотреть небольшой участок земной поверхности, например участок в один квадратный метр, то, в принципе, его можно отождествить с небольшой частью плоскости (достаточно рассмотреть касательную плоскость к точке, расположенной недалеко от центра рассматриваемого участка). Таким образом, квадрат расстояния (т. е. расстояние, возведенное в квадрат) между двумя точками на этой небольшой поверхности будет в очень хорошем приближении равен квадрату расстояния между двумя точками на плоскости, который в свою очередь может быть получен с помощью теоремы Пифагора. Единственная сложность заключается в невозможности покрыть всю поверхность Земли с ее горами и долинами абсолютно регулярной сеткой координат (таких как длина и ширина).

На плоской поверхности, например на лежащем на столе листе бумаги, можно легко определить местоположение точки с помощью обычной прямоугольной сетки, какая используется в школьных тетрадках или на миллиметровой бумаге. Такую регулярную сетку уже невозможно реализовать на поверхности, имеющей всевозможные выпуклости и впадины. Чтобы зафиксировать любую точку на искривленной поверхности, мы, таким образом, используем два параметра, скажем x и y, которые больше не имеют простого смысла длины и ширины. Например, на поверхности Земли в качестве «первой координаты» x можно использовать долготу, а в качестве «второй координаты» y – широту. Следует отметить, что такие координаты можно использовать, даже когда земную поверхность невозможно аппроксимировать сферой: например, на возвышенности или в низине. При этом нет необходимости вводить третью координату (скажем, высоту над уровнем моря), поскольку двух первых координат (долготы и широты) будет достаточно, чтобы определить положение на Земле, а высота будет определяться некоторой функцией долготы и широты. Отсюда легко видеть, что если использовать сетку, определяемую долготой и широтой, на небольшой части поверхности Земли на склоне горы или ущелья, то эта сетка будет представлять собой деформацию привычной сетки из школьной тетрадки в клетку: поверхность по-прежнему будет разбиваться на ячейки двумя семействами линий, но каждая ячейка будет не квадратом, а чем-то вроде параллелограмма, точнее, ее стороны просто не будут равны друг другу и перестанут пересекаться под прямым углом.

Итак, локально можно сопоставить каждый небольшой фрагмент получившегося разбиения на ячейки с обычным разбиением на параллелограммы, сделанном на касательной плоскости. Обобщение теоремы Пифагора применительно к непрямоугольным треугольникам говорит нам, что квадрат расстояния между двумя узлами такой (плоской) сетки дается суммой квадратов разностей координат между двумя узлами и их удвоенным произведением. Чтобы определить квадрат расстояния между близкими точками вообще любой искривленной поверхности, точки которой фиксируются двумя координатами x и y, необходимо, таким образом, задать в каждой точке три величины: коэффициент перед квадратом dx^2 разности dx между первыми координатами двух точек, коэффициент перед квадратом dy^2 разности dy между вторыми координатами и коэффициент перед удвоенным произведением 2dxdy. [Мы рассматриваем математический предел, в котором точки бесконечно близки, отсюда символ d, обозначающий бесконечно малую разность.] Эти три коэффициента определяют геометрию (geometry) рассматриваемой поверхности и по этой причине обозначаются соответственно как gxx, gyy и gxy, где буква g напоминает нам, что речь идет о геометрии.

Во времена обучения в Цюрихском политехническом Эйнштейн высоко ценил курс Карла Фридриха Гёйзера, посвященный «инфинитезимальной геометрии» поверхностей. Гёйзер читал лекции по теории, разработанной знаменитым математиком Карлом Фридрихом Гауссом и фактически изучающей тот самый квадрат расстояния между бесконечно близкими точками, про который мы только что говорили. В связи с этим в 1912 г. Эйнштейн вспомнил, что геометрия «деформированной» (или неплоской) поверхности определяется с помощью трех величин gxx, gyy, gxy, заданных в каждой точке поверхности. Этот набор данных, определяющий для каждой точки поверхности значения трех величин gxx, gyy, gxy, называется «геометрическим тензором», а точнее, «метрическим тензором» g. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщение этого понятия на случай, когда (двумерная) поверхность заменяется на (четырехмерное) пространство-время. Математик Бернхард Риман, студент Гаусса, уже обобщил теорию Гаусса для деформированных пространств произвольных размерностей. Однако Риман рассматривал исключительно случай пространств, которые локально, т. е. в окрестности каждой точки, напоминают обычное евклидово пространство. Другими словами, он изучал пространства, в которых геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым значением квадрата расстояния ^2, имеет форму деформированной (гипер)сферы, т. е. представляет своего рода «мяч для регби» {68} . Эйнштейн понял, что ему требуется обобщить теорию Римана на случай, когда геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым (положительным) значением квадрата интервала ^2, имеет форму деформированных песочных часов {69} .

Деформированное пространство-время, таким образом, определяется заданием для каждой точки такого рода деформированных песочных часов. На рис. 8 можно увидеть графическое представление этой идеи, а также сравнить ее с недеформированным случаем пространства-времени специальной теории относительности (см. рис. 3). Затем Эйнштейн понял, что такое деформированное пространство не может быть покрыто обычной квадратной сеткой, подобной той, что мы видим в школьных тетрадях, т. е. с помощью четырех обычных координат (длины, ширины, высоты и времени), использованных им в специальной теории относительности. Как и в случае поверхности Земли, нужно было использовать более общие координаты (аналогичные долготе и широте для деформированной сферы, см. рис. 7). Поскольку пространство-время является четырехмерным, необходимо иметь четыре координаты, чтобы точно определить какое-либо событие. Можно обозначить эти координаты различными способами, из которых наиболее распространенные: (x, y, z, t), (x1, x2, x3, x4) или (x0, x1, x2, x3).