В феврале 2002 года Элеанор Робсон из Великобритании удивила научное сообщество, представив новую интерпретацию таблички. Быть может, вовсе не столь очевидно, что на табличке Плимптон 322 записаны пифагоровы тройки. Согласно Элеанор Робсон, автором таблички мог быть учитель математики, который использовал ее как справочник при решении определенных уравнений второй степени. Свою гипотезу она подкрепила содержанием другой таблички, YBC 6967, созданной примерно в то же время.

В ней подробно описывается способ решения уравнений вида х — 1/x = с. Он состоит в подсчете последовательности промежуточных значений, которые помогают найти решение:

a1 = с/2, а2 = а12,а3 = 1 + а2,а4 = а31/2.

Зная эти числа, мы легко вычислим

x = а4 + a1,1/x = a4 — a1

Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а3 записаны в первом столбце, a1 = (х — 1/х)/2 во втором, а4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.

Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.

Теорема Пифагора в Шумерии

Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.

К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.

Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.

Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:

Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.

Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.

Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.

Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.

Квадрат какого числа равен 0,09?

0,3.

Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.

Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.

Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.

И чтобы окончательно развеять сомнения, добавим, что в источниках вавилонского периода многократно встречается задача о вычислении квадратного корня. Документально подтверждено, что вавилоняне умели вычислять квадратный корень из 2 с удивительной точностью.

Все это доказывает, что в культуре Месопотамии было известно, сколь важную роль играло вычисление квадратных корней в решении задач. Помимо прочего, им также было известно, что некоторые квадратные корни имеют точные значения, а другие имеют бесконечное множество знаков, и их значение можно вычислить только приближенно. Вавилонские математики терпеливо вычисляли значения этих корней со все большей точностью.