Шрифт:
справедливо следующее соотношение:
a/sin A = b/sin В = c/sin С
Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:
sin A/sha = sin B/sh b = sin С/sh c
Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:
и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.
Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что
ch(x + у) = chx·chy + shx·shy
аналогично традиционному выражению
cos(x + у) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin2x + cos2x = 1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:
ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ
В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х2 + у2 = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х2 + у2 = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.
Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х2 — у2 = 1, то х = ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х2 — у2 = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».
Эти графики нам уже знакомы. Гипербола напоминает нам псевдосферу.
* * *
Что касается тангенсов, то можно показать, что
аналогично традиционному выражению
* * *
ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические тождества для суммы и разности выглядят следующим образом:
sin(x + у) = sinx·cosy + cosx·siny
cos(x + у) = cosx·cosy — sinx·siny
sin(x — y) = sinx·cosy — cosx·siny
cos(x — y) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ
Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А = 8°, В = 22° и С = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.
Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22° + 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся гиперболической теоремой косинусов и получим
Это позволяет нам вычислить значение а. Для этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее
что дает нам длину b = 3,628644458. И наконец
К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.
* * *
Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.
По таблице традиционных тригонометрических тождеств можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии. Просто надо от функций sinх и cosх перейти к гиперболическим функциям shх и chх соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели, разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических синусов.
Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:
sh(x + у) = shx·chy + chx·shy
sh(x — у) = shx·chy — chx·shy
ch(x + y) = chx·chy + shx·shy
ch(x — y) = chx·chy — shx·shy