Шрифт:
Выражая S и подставляя 6350 км вместо R, имеем
Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км2, сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.
* * *
В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:
Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а).
И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:
Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:
«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».
В следующей таблице сравниваются основные математические характеристики традиционной и сферической геометрий — самой простой версии эллиптической геометрии.
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
• Прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Прямые линии бесконечны. Расстояние между двумя точками не ограничено.
• Существует только одна прямая линия, соединяющая две точки.
• Существуют прямые без общих точек, и они называются параллельными линиями.
• Две перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.
• Треугольник имеет не более одного прямого угла.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
• Геодезическая линия является кратчайшей линией между двумя точками.
• Геодезические линии имеют максимальную конечную длину, равную R. Максимальное расстояние между двумя точками равно R.
• Геодезическая линия будет единственной тогда и только тогда, когда две точки не являются диаметрально противоположными. В противном случае существует бесконечное число геодезических линий.
• Прямыми линиями являются большие круги, и они всегда пересекаются. Не существует параллельных линий в евклидовом смысле.
• Две перпендикулярные геодезические линии образуют 8 прямых углов.
• У сферического треугольника может быть 0, 1, 2 или даже 3 прямых угла.
Глава 7
Геометрия Земли
Рассмотрим две классические задачи, связанные с геометрией Земли. Они были сформулированы известным математиком и педагогом Дьёрдем Пойа (1887–1985). Первая — рассказ-шутка, но с математическим содержанием. Она известна как задача о полярном медведе.
«Смелый охотник, выйдя из лагеря, прошел 1 км на юг. Затем он прошел 1 км на восток. И в этот момент он увидел медведя, достал пистолет и выстрелил. Довольный своей добычей, охотник пошел на север и ровно через 1 км возвратился в лагерь. Какого цвета был медведь?»
Охотник двигался по дугам меридианов, когда шел на юг и на север. Идя на восток, он двигался по дуге параллели.
Если охотник возвращается в исходную точку по другому меридиану, а не по тому, по которому вышел из лагеря, то его лагерь должен быть на Северном полюсе. Другое решение предполагает, что двигаясь на восток по параллели, охотник опишет одну, две или три полных окружности вокруг полюса. В любом случае медведь, находящийся в одном километре от Северного полюса, может быть только белым.
Другая задача Пойа не так хорошо известна, но не менее занимательна. Это задача о земле Роберта.
«Роберт хочет купить участок земли, совершенно плоский и ограниченный четырьмя строго прямыми линиями. Две из этих линий должны проходить с севера на юг, а две другие — с востока на запад. Длина каждой должна быть ровно 1000 метров. Может ли Роберт найти такой участок земли в Мексике?»
Рассуждения в этой задачи аналогичны предыдущим. Участок земли, который хочет купить Роберт, ограничен двумя меридианами и двумя параллелями. Представьте себе два фиксированных меридиана и параллель между ними. При движении от экватора дуга параллели будет уменьшаться. Таким образом, описанный в задаче участок можно найти только на экваторе. Взглянув на карту Земли, мы сразу поймем, что Роберт не сможет найти такой участок в Мексике, так как эта страна расположена в северном полушарии.