Целые, натуральные и рациональные числа обладают одинаковой мощностью, а «уровень бесконечности» вещественных чисел выше, чем натуральных. Их бесконечное множество «больше» бесконечного множества натуральных. Таким образом, Георг Кантор не только осмелился сравнить два бесконечных континуума — это возмутило бы и Аристотеля, и Галилея,— но и пришел к выводу, что некоторые бесконечности больше других. Иными словами, его доказательство касательно трансцендентных чисел таково: бесконечность множества вещественных чисел больше бесконечности алгебраических чисел, следовательно, должно быть бесконечное множество вещественных чисел, которые не являются алгебраическими, то есть бесконечные трансцендентные числа. В 1874 году эти идеи были настолько революционными, что Вейерштрасс посоветовал Кантору скрыть их. Но почему же тогда Кантор все-таки занялся ими? Из чистого противоречия?

Число называется алгебраическим, если является решением уравнения типа anxn + an-X1n-1 + ... + aX1 + a0 = 0, где an, an-1,... ,a0 — целые числа, а an /= 0. Например, 7/5 — алгебраическое число, так как является решением уравнения 5х - 7 = 0; еще один пример алгебраического числа — 3, которое является решением уравнения х2– 3 = 0. Это уравнение называется уравнением второй степени, так как наибольшая степень х в нем — х2; уравнение, приведенное вначале, — уравнение первой степени (напомним, что x = x1). Мы можем доказать, что 3 является не только решением уравнения x2– 3 = 0, но и уравнения третьей степени х3– х2– 3х + 3 = 0, и уравнения четвертой степени х4– 9 = 0, и уравнения пятой степени, и шестой и так далее. Однако 3 не является решением уравнений степени меньше 2, которое при этом удовлетворяет всем вышеуказанным условиям. Самая меньшая возможная степень для 3 — вторая, поэтому говорят, что 3 — это алгебраическое число степени 2. Другими алгебраическими числами степени 2 являются, например, 2 и 

 (1 + 5)/2,

(Другой стороны, можно доказать, что 32 — число степени 3, что 2 + 3 — число степени 4, и что все рациональные числа, как в случае с 7/5, являются алгебраическими числами степени 1. Итак, чтобы удалось построить отрезок с помощью линейки без делений и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу, причем степени 1, 2, 4, 8,16 или любой другой, делящейся на 2. Поскольку — не алгебраическое число, отрезок этой длины такими инструментами построить нельзя. Также нельзя построить отрезок длиной 2, поскольку, хотя это и алгебраическое число, его степень равна 3.

Он задумался о них еще в ходе первых исследований в Галле, и результаты работы привели его к тому, чтобы отнестись к ним серьезно. В 1883 году Кантор писал:

«К мысли о том, чтобы рассматривать бесконечно большое не только в форме безгранично возрастающего [...], но также закрепить его математически с помощью чисел в определенной форме завершенно бесконечного, я пришел почти против собственной воли и в противоречии с ценными для меня традициями, логически вынужденный к этому ходом многолетних научных усилий и попыток. Поэтому я не думаю, что могут найтись доводы, на которые я не сумел бы ответить».

Какие же исследования подтолкнули его допустить возможность существования актуальной бесконечности? Ответ на этот вопрос будет дан в следующей главе.

Теория математической бесконечности постоянно бросает нам вызов, когда мы сталкиваемся с правильными, при этом полностью противоречащими здравому смыслу выводами.

В ее рамках доказывается, что целое не всегда больше любой составляющей его части, и приводятся примеры разных «уровней бесконечности». Эта теория тесно связана с областью математики, восходящей к классическому периоду Античности, — с исчислением.

Георг Кантор и Рихард Дедекинд познакомились случайно в 1872 году во время летних каникул. Несмотря на различия — Кантор был натурой страстной и импульсивной, а Дедекинд гораздо более спокойным и рассудительным,— они обнаружили много общего в своем видении математики. С этой встречи они почти десять лет вели очень интенсивную переписку, в ходе которой впервые обсудили идеи Кантора, впоследствии изложенные в его статьях. В письме от 5 января 1874 года, отправленном из Галле, Кантор спрашивал мнения Дедекинда по следующему вопросу: 

«Может ли некая поверхность (например, квадрат, включая углы) вступить в однозначное отношение с кривой (например, с отрезком прямой) таким образом, чтобы каждой точке плоскости соответствовала точка кривой, и наоборот?» 

Задача, сформулированная Кантором, была естественным продолжением идей, над которыми он работал в то время. В 1873 году он уже знал, что мощность множества вещественных чисел больше мощности натуральных чисел. Другими словами, он знал, что уровень бесконечности вещественных чисел больше, чем уровень натуральных, хотя в статье 1878 года не заявил об этом открыто.

В этой ситуации логично задаться вопросом: возможно ли множество с еще большей мощностью, чем мощность вещественных чисел? Именно об этом и думал Кантор, когда писал Дедекинду. Проследим, как вопрос о возможности множества с мощностью, большей, чем мощность вещественных чисел, приводит нас к вопросу в письме Кантора.

В предыдущей главе мы убедились, что каждой точке на числовой оси соответствует вещественное число, и наоборот: каждому вещественному числу соответствует точка на оси. Другими словами, между вещественными числами и точками на оси наблюдается взаимно однозначное соответствие (то есть два множества эквивалентны или равномощны). Когда мы говорим о мощности — это то же самое, что говорить о вещественных числах и точках на оси. Какое множество можно выдвинуть в качестве кандидата на большую мощность по сравнению со множеством точек на оси? Поскольку ось — одномерный объект, логично было бы предположить, что нам подошел бы объект с двумерной поверхностью.