Это соответствие доказывает, что N х N счетное, следовательно, его мощность равна X. Итак, с одной стороны, произведение мощностей дает понять, что мощность N x N равна X0 • X0 . С другой стороны, мы только что доказали: мощность N х N равна X0 . Отсюда следует, что X0 • X0 = X0 .

Мы — члены Земли, но не 5, поскольку не являемся планетами Солнечной системы. С точки зрения S каждая планета — самостоятельный объект, и не имеет никакого значения, как он образован. Аналогично, множество D определенное выше, состоит из двух членов, и для него не важно, из чего, в свою очередь, состоят они.

Теперь рассмотрим множества, образованные натуральными числами. Например, множество N, состоящее из всех натуральных чисел, множество четных чисел, нечетных, простых; множество, состоящее только из числа 45; только из тех чисел, которые оканчиваются на 8; состоящее только из чисел 5,7 и 22 и многие другие, каждое из которых, как в случае с Q и I, должно приниматься как самостоятельный объект. Итак, мы можем рассмотреть множество, члены которого — это все множества, могущие быть образованными при помощи натуральных чисел — как упомянутые выше, так и все остальные возможные множества. Это новое множество обычно обозначается 'P(N) и читается как «части N», а его члены, следовательно, — это множества, а не числа. Множество всех четных чисел — член 'P(N), как и множество, состоящее из числа 2; но само число 2 — не член 'P(N), так как его члены — только множества. Здесь для теории множеств проходит тонкое, но очень важное различие: число 2 и множество, состоящее из числа 2, — не одно и то же. Чтобы подчеркнуть это различие, множество из числа 2 обычно записывается как {2}. Фигурные скобки позволяют нам графически показать разницу между 2 — числом — и {2} — множеством. Так же, например, множество, образованное числами 2 и 34, обозначается {2, 34}, а множество четных чисел — {0, 2, 4, 6, 8,...} (см. рисунок). Таким образом, множество D упомянутое выше и состоящее из множеств Q и I, будет записано как {Q и I}.

Арифметику кардинальных чисел нельзя путать с арифметикой ординальных. Кардинальные числа связаны с понятием количества, а их сумма — с идеей добавления элементов. Следовательно, как мы только что увидели, X0 + 1 = X0 , то есть X0 + 1 не больше X0 . Ординальные же числа выражают понятие «места в последовательности», и их сумма связана с идеей продвижения по этой последовательности. Так, например, + 1 обозначает позицию, идущую непосредственно за , и поэтому + 1 больше, чем . В «Обоснованиях» Кантор также писал и об ординальной арифметике, которая не рассматривается в этой книге.

Некоторые множества, образованные натуральными числами.

Вопрос, на который Кантор ответил в своей статье 1892 года, гласит: «Какова мощность 'P(N) ?» Для ответа нужно найти удобный способ представления множеств, образованных натуральными числами. Для определения числового множества достаточно знать, какие числа принадлежат множеству, а какие нет. Представим, что двое, Алиса и Бруно, играют в игру: Алиса загадывает множество, а Бруно должен отгадать его. Для этого он по порядку называет натуральные числа: 0, 1,2, 3, 4,...; каждый раз, когда названное число входит в загаданное множество, Алиса говорит «Да», если нет — «Нет». Если она говорит: «Нет, да, нет, да, нет, да, нет, да,...», Бруно может заключить, что речь идет о множестве нечетных чисел. Если все ее ответы — «Да», то это множество 'P(N) ; если это множество простых чисел, то ответы будут: «Нет, нет, да, да, нет, да, нет, да, нет, нет, нет, да,...». Каждое «Да» мы можем заменить числом 1, а каждое «Нет» — числом 0. Таким образом, каждое множество, состоящее из натуральных чисел, будет являться бесконечной последовательностью нуля и единицы. Если мы перезапишем ответы Алисы, то множество нечетных чисел будет представлено последовательностью 010101..., множество 'P(N) — 11111..., а множество простых чисел — 001101010001... То есть каждой бесконечной последовательности нуля и единицы соответствует некое множество, и наоборот, каждому множеству соответствует бесконечная последовательность нуля и единицы. Это взаимно однозначное соответствие подразумевает, что вопрос о мощности 'P(N) и мощности всех бесконечных последовательностей нуля и единицы — одно и то же (см. рисунок).

В статье 1892 года «Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях» Кантор доказывает по существу две вещи. Прежде всего — что множество всех последовательностей нуля и единицы не является счетным, поэтому и 'P(N) несчетно. Для этого ученый использовал диагональный метод (см. главу 2). В действительности данный метод впервые появился именно в этой работе 1892 года. Доказательство несчетности, которое привел Кантор в 1874 году, следовало другой логике и основывалось на определении вещественных чисел.

Доказательство, что 'P(N) несчетное, основывается на алгоритме, описанном в главе 2 для вещественных чисел. Однако несчетность 'P(N) и R, даже если в ходе доказательства мы рассуждали так же, не гарантирует, что у них одинаковая мощность. Метод диагонали дает нам отрицательный результат, то есть позволяет убедиться, что ни у 'P(N), ни у R мощность не равна X0 , но не показывает, какую конкретно мощность имеет каждое из них, и не дает оснований заключить, что их мощности равны.

Взаимнооднозначное соответствие между множествами и последовательностями нуля и единицы.

В статье 1892 года Кантор доказал, что эти множества равномощные, однако это нельзя заключить на основе диагонального метода; необходимо предъявить отдельное доказательство. Итак, требуется доказать, что 'P(N) и R эквивалентны или что R эквивалентно всем бесконечным последовательностям нуля и единицы.

Для начала вспомним, что способ привычной нам записи натуральных чисел основан на десятичной системе, так как для них необходимы все 10 цифр, а также на степенях числа 10. Когда мы записываем число 235, на самом деле мы пишем 2 · 102 + 3 х 101 + 5 · 100 (напомним, что 101 = 10, а 100 = 1). Нечто похожее происходит с числами, которые не являются целыми, но в этом случае используются степени с отрицательным знаком: 10-1 равное 0,1; 10– 2, равное 0,01, и так далее. 0,76 на самом деле означает 7 • 101 + 6 • 10– 2. Интересно подчеркнуть, что числа с бесконечным количеством цифр после запятой, такие как 0,3333..., можно представить в виде бесконечных сумм.

Действительно, 0,333... = 3 • 10– 1 + 3 • 10– 2 + 3 • 10– 3 + 3 • 10– 4 + ... Хотя десятичная запись используется чаще всего, она не единственно возможная: например, числа можно записывать на основе так называемой двоичной системы. Как явствует из ее названия, в ней используются только две цифры — 0 и 1, — а основана она на степенях числа 2. Число 13 в двоичной системе будет записано как 1101, поскольку 13 = 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20. Как и в предыдущем случае, этот способ записи не распространяется на целые числа. Например, в двоичной системе число 0,333... будет выглядеть как 0,01010101..., поскольку бесконечная сумма 0 • 2– 1 + 1 • 2– 2 + 1 • 2– 4 + 0 • 2– 5 + 1 • 2– 6 в результате даст 0,333... (записанное в десятичной системе).