О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев; у англичан в системе мер 1 фут равен 12 дюймам, а в денежной системе 1 шиллинг равен 12 пенсам. Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (12-главый змей, 12 братьев-разбойников), что говорит о древнем происхождении этой системы счисления.

Посмотрим, как будет представлено в ней число 777. Поскольку в системе должно быть двенадцать цифр, а мы знаем только десять, то придется ввести еще две цифры, обозначив 10, скажем, буквой А, а 11 — буквой Б. Осуществив последовательное деление нашего числа на основание 12, получим

(777)10 = 5•122 + 4•12 + 9 = (549)12

Число (35)10 =2•12 + 11 запишется как (2Б)12, а число (134)10 = 11•12 + 2 - как (Б2)12, т. е. оно станет двузначным.

Как видите, можно придумать много различных позиционных систем счисления, отличающихся только основаниями. И вес они, вообще говоря, равнозначны: ни одна из них не имеет явных преимуществ перед другой! Так почему же все-таки мы пользуемся именно десятичной системой счисления?

Вряд ли можно дать на этот вопрос исчерпывающий ответ. Одну из причин мы указали - 10 пальцев на руках человека. Возможно, системы с низким основанием (например, пятеричная) оказались менее пригодными, чем десятичная, потому что в них даже сравнительно небольшие числа выражались довольно громоздко. Или, может быть, использование системы с высоким основанием, таких как двадцатеричная или шестидесятеричная, не оправдалось на практике, поскольку требовалось запоминать большое число особых слов - названий низших числительных. Вероятно, поэтому в процессе естественного отбора в подавляющем большинстве случаев выжила система счисления с основанием "средней" величины, т. е. десятичная.

Число 2 - это самое меньшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления. Поэтому в двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1. С их помощью можно "сосчитать" любые числа. Ведь мы уже убедились в том, что системы счисления с любым основанием равноправны.

Число в двоичной системе запишется так:

M = an•2n + an-1•2n-1 + ... + a1•2 + a0

Если в десятичной системе "вес" каждой позиции (или разряда) числа равен 10 в некоторой степени, то в двоичной системе вместо числа 10 используется число 2. "Веса" первых 13 позиций (разрядов) двоичного числа имеют следующие значения:

Попробуем записать уже привычное нам число (777)10 в двоичной системе счисления. Мы сможем легко сделать это, вспомнив принцип последовательного деления числа на основание системы, в данном случае числа 777 на число 2:

Представляя наше число в виде разложения по степеням двойки и отбрасывая потом при записи сами степени, получаем его запись в двоичной системе:

(777)10 = 1•29 + 1•28 + 0•27 + 0•26 + 0•25 + 0•24 + 1•23 + 0•22 + 0•2 + 1 = (1100001001)2

Итак, в двоичной системе счисления вместо числа 777 приходится писать число 1100001001.

Другой пример: десятичное число (45)10 имеет двоичную запись (101101)2.

При записи числа в десятичной системе каждая позиция занята десятичной цифрой. Аналогично при записи числа в двоичной системе каждая позиция занята двоичной цифрой. В научном мире вместо двух слов "двоичная цифра" употребляют одно слово: "бит". Оно произошло от английского bit, составленного из начальных и конечной букв словосочетания binary digit, что в переводе означает "двоичная цифра". Мы можем сказать, что двоичная запись числа (45)10 содержит шесть бит, а числа (777)10– десять бит.

С помощью одного бита можно записать только числа 0 и 1, двух бит - числа от 0 до 3, трех бит - числа от 0 до 7, четырех бит — числа от 0 до 115 и т.д.

Чтобы записать числа от 0 до 1000, пот ребуется десять бит. В двоичной системе счисления даже сравнительно небольшое число занимает много позиций.

А как "разгадать", какое десятичное число скрывается под его записью в двоичной системе? Правило простое: под каждым разрядом двоичного числа следует записать его "вес". Те "веса", которые соответствуют единичным разрядам, нужно сложить. Полученная сумма и есть "разгадка". Вот перед нами "загадочное" число 1001011, записанное в двоичной нумерации. Поступаем согласно сказанному выше: