В аналогии названий своей логики и геометрии Лобачевского Н. А. Васильев усматривал и наличие внутренней аналогии между ними, обусловленной логическим тождеством методов их построения [12, с. 208]. Подобно тому как исходным пунктом геометрии Лобачевского являлся отказ от попытки доказать знаменитый пятый постулат Евклида о параллельных линиях и он строил геометрию, «свободную» от этого постулата, так и отправной тонкой логики Васильева выступает отбрасывание одного из важнейших положений аристотелевой логики, принимавшегося за постулат, — закона противоречия — и построение логики, свободной от этого закона. Именно единством метода и объясняются «поразительные аналогии между неевклидовой геометрией и. . . воображаемой (неаристотелевой) логикой» [13, с. 5].

И неевклидова геометрия, и неаристотелева логика, рассуждает Н. А. Васильев, представляют собой замкнутые системы, возможность которых открылась при отбрасывании соответствующих аксиом, обе они лишены самопротиворечий, обе возмущают здравый смысл и непосредственную интуицию.

В евклидовой геометрии прямые линии на плоскости либо пересекаются, либо параллельны. В геометрии Лобачевского прямые линии на плоскости являются либо «сводными» (пересекаются), либо «разводными» (не пересекаются), либо «параллельными», отделяющими «сводные» линии от «разводных». В аристотелевой логике имеется два класса суждений, различных по качеству, которые характеризуют отношение субъекта и предиката, — суждения утвердительные и отрицательные. В логике Васильева имеется уже три класса суждений, характеризующих троякое отношение между субъектом и предикатом, — суждения утвердительные, отрицательные и индифферентные. Таким образом, «дихотомия нашей логики и нашей геометрии переходит в трихотомию воображаемых дисциплин» [12, с. 233], (ср.: [28, с. 21]).

Почти полвека после создания Лобачевским своей воображаемой геометрии была найдена ее интерпретация на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной, на так называемой псевдосфере. Воображаемая логика, по мысли Н. А. Васильева, действительна не только в некотором воображаемом мире с двумя родами «ощущений»; она находит интерпретацию и в нашем мире, в логике понятий, которая отлична от логики земных вещей. Напомним, что в своей первой логической работе Н. А. Васильев показал, что в логике вещей действуют законы противоречия и исключенного третьего, а в логике понятий необходимо принять уже законы несамопротиворечия и исключенного четвертого. Состояние вещей может описываться утвердительными или отрицательными суждениями, а для понятий оказываются необходимыми три класса суждений — класс отрицательных, класс утвердительных и класс акцидентальных суждений. Закон исключенного четвертого — закон воображаемой логики — в то же время является законом логики понятий. Индифферентному суждению воображаемой логики соответствует акцидентальное в логике понятий. «Воображаемая логика есть реализация логики понятий; воображаемый мир есть мир осуществленных понятий. Платон гипостазировал мир идей; такой мир был бы подчинен воображаемой логике», — писал Н. А. Васильев (14, с. 64).

Псевдосфера — в некотором смысле идеальное образование, но воображаемая геометрия Лобачевского при определенных физических условиях во Вселенной становится геометрией реального пространства. Также «при известном устройстве мира или нашей ощущающей способности логика должна быть обязательно неаристотелевой» [12, с. 238]. Наш мир и наши ощущающие способности устроены таким образом, что все непосредственные ощущения имеют положительный характер. «Отрицательное» ощущение у нас на самом деле вовсе не отрицательное, оно вторично по отношению к положительному и возникает, когда один признак «замещается» другим, несовместимым с ним. В мире, в котором были бы возможны два вида ощущений, непосредственно данных живым существам, необходимо царствовала бы неаристотелева логика. Иначе говоря, логические законы и принципы, по Васильеву,; в первую очередь определяются природой познаваемых объектов, они зависят от характерного для них опыта,; в который включен субъект, т. е. они эмпиричны.

Соотнося генезис логических законов с некоторой «воображаемой» реальностью, Н. А. Васильев настойчиво проводил мысль о примате онтологического аспекта логики, о том, что материальные условия дифференцируют логику на подчиненные ей частные логики. Изменяя онтологию, комбинируя свойства реальности, можно получать различные «воображаемые» логики, поскольку «метод воображаемой логики позволяет экспериментировать в логике, устранять известные логические положения и смотреть, что из этого выйдет» [28, с. 20]. Этот метод аналогичен «сравнительному и экспериментальному методам естествознания» [14, с. 78]. Такая трактовка метода воображаемой логики в контексте идеи о множественности логических систем инициирует мысль, что дух исследований Н. А. Васильева подводил к предельно широкому пониманию сущности и природы логики — логики как науки о приемлемых способах рассуждений, — к такому пониманию, которое было систематизировано и обосновано на достаточно «продвинутом» этапе развития математической логики, отличающемся известным смягчением позиций представителей различных альтернативных направлений в основаниях математики — логицизма, формализма, интуиционизма и т. д. (см.: [78]).

Несмотря на внешнюю несхожесть логик, которые могут быть получены методом Лобачевского, в них обязательно есть нечто общее, сохраняющееся от логики к логике и ответственное за их двойственность. Это общее — металогика, являющаяся тем логическим минимумом, который не зависит от разнообразия содержания мысли, но задает способность к логическому, доказательному мышлению.

В неевклидовой геометрии содержался еще один исключительный по своей важности урок для развития неаристотелевой логики, да, впрочем, и для логики в целом. Этот урок заключался в том, что наряду со значительным влиянием неевклидовой геометрии на судьбы развития математики, благодаря ее становлению и развитию в геометрии со всей остротой был поставлен вопрос об основаниях. Д. Гильберт произвел аксиоматизацию геометрии, в результате чего прояснились основания этой науки, стали очевидными предпосылки геометрического знания, которые ранее использовались учеными неявно: Н. А. Васильев высока ценил деятельность Д. Гильберта по аксиоматизации геометрии и отметил его приоритет в постановке проблемы оснований, причем «замечательная по точности разработка этого вопроса» казалась ему «образцом для логики» [28, с. 22] (см. также: [12, с. 245]).

Для логики, убеждал Н. А. Васильев, настал момент, когда необходимо обратить самое пристальное внимание на основания, на ее аксиоматизацию. Всякий логик чувствует, в каком «хаотическом» состоянии находится учение о законах, принципах мышления, об аксиомах и постулатах логики, выступающих ее фундаментальными положениями. Среди логиков, например, нет единства в суждении о числе и природе основополагающих законов своей науки и даже об их формулировке, о том, какие из них действительна являются аксиомами, а какие — производными положениями; до сих пор никто не доказал, что в основе логики не лежат еще какие-то принципы, в явном виде еще пока не сформулированные.

Метод построения воображаемой логики, по Н. А. Васильеву, должен служить надежным и эффективным орудием в вопросах исследования оснований логики, поскольку этот метод дает возможность упорядочить, привести в систему отношения различных элементов логики, проникнуть за внешне однородную «поверхность» логики и отделить друг от друга складывающие эту дисциплину «пласты» [28, с. 22].

Метод воображаемой логики, по мнению Н. А. Васильева, позволял выделить аксиомы, которые являются фундаментальными для логики и лежат в ее основе; дать им точные формулировки; исследовать независимость аксиом друг от друга; выяснить, какие логические положения и операции зависят от тех или иных аксиом; провести классификацию логических аксиом. В итоге логика приняла бы «строго доказательную форму, аналогичную форме математики», и «формулы. . . логики можно было бы обобщать и излагать в самом общем виде» [14, с. 78] (см. также: [12, с. 245]). Кроме того, открылся бы путь для сравнения логических систем между собой; в частности, можно было бы сопоставить аристотелеву и воображаемую логики.