Работы Н. А. Васильева по логике имеют большое значение в отношении исследования принципов мышления вообще, но в особенности именно в самое последнее время идеи Н. А. Васильева получили самую высокую важность вследствие новых течений в математике{2}/.

Оценивая кратко положение современной математики, должно сказать следующее.

В последнее время в связи с пересмотром основ математики пришлось отказаться от привычных взглядов на бесконечность {3}, и в частности пришлось потребовать для нее особой логики, существенно отличающейся от логики конечных вещей {4}. Более точно: пришлось в связи с парадоксами, начавшими загромождать математику, отказаться от применения к бесконечным предметам (каковы: пространство, время, множество, число) закона исключенного третьего и заняться таким образом строительством новой логики, существенно отличной от аристотелевой, именно: логики без закона исключенного третьего{5}. Таким строительством занят в настоящее время (1924—1926) знаменитый математик Brower {6} и еще более прославленный геттингенский математик и мыслитель Hilbert {7} (1922—1926).

К ним же примыкает по направлению известный математик и теоретик-физик Weyl {8} (—/ 1922). Тех же приблизительно взглядов придерживается знаменитый французский математик Borel {9}.

Таким образом, в настоящее время дело идет о создании для математики новой логики, такой, где закон исключенного третьего уже не входит как непременно долженствующий соблюдаться. Работы Н. А. Васильева посвящены созданию такой точно логики {10}.

Задолго, еще в 1910 г., когда и речи не могло быть о пересмотре математической логики и о тех недовольствах ею, которыми пропитаны современные математические исследования, Н. А. Васильев начал систематическое построение своей «воображаемой логики», ставшей теперь такою реальностью в последние годы 1924—1926. Таким образом, идеи Н. А. Васильева удивительным образом совпадают с новейшими усилиями, к которым должны теперь прибегнуть математики силою вещей. История науки знает много примеров таких совпадений идей. Эти совпадения наилучшим образом выявляют объективную ценность совпавших мыслителей.

Таким образом, работа по логике Н. А. Васильева представляет поразительное совпадение с современными исследованиями, имеет самую высокую важность и интерес.

Можно лишь горячо желать, ввиду их актуального значения и интереса, синтетического их издания и распространения и еще более желать, чтобы их автору было дано продолжить свои важные изыскания {11}.

Профессор 1-го Гос. Моек, университета Член-корреспондент Академии наук Николай Лузин

4 января 1927 г. Москва.

1. Оригинал «Отзыва» хранится в ЛАА. К «Отзыву» Н. Н. Лузина прилагается список работ Н. А. Васильева, который содержит работы [11, 12, 14, 26], а также литературные труды ученого.

2. Под новыми течениями в математике Н. Н. Лузин понимает интуиционизм, который ставил своей целью перестройку математики в свете отказа от абстракции актуальной бесконечности, закона исключенного третьего и метода доказательства от противного [52], а также эффективизм, выступавший за пересмотр основных теоретико-множественных понятий и принципов с позиций их возможной «эффективной» осуществимости. Н. Н. Лузин являлся ярким представителем эффективизма — направления, в каком-то смысле близкого к интуиционизму по техническим решениям (а позже — и к конструктивизму), но в отличие от последних не отказывающемуся от классической математики вообще, а лишь настаивающему на переосмыслении ее концептуального содержания на базе соответствующих «приемлемых» принципов» [77].

3. В классической математике принималась (была «привычной») абстракция актуальной бесконечности, которая заключается в отвлечении от принципиальной незавершенности потенциально неограниченно продолжающихся процессов [76].

4. Считалось, что традиционная, классическая логика абстрагирована от свойств, присущих конечным множествам.

5. Имеется в виду интуиционистская логика, которая отражает взгляд интуиционизма на природу математических рассуждений. В ней отсутствуют законы исключенного третьего, снятия двойного отрицания и соответственно отвергаются методы доказательства от противного. Впервые сформулирована А. Гейтингом в 1930 г.

6. Брауэр Л. Э. Я. (1881—1966) — видный голландский математик. Получил важные результаты в области топологии, основатель интуиционистского направления в математике.

7. Гильберт Д. (1862—1943) — выдающийся немецкий математик. Н. Н. Лузин, видимо, ошибочно ставит Д. Гильберта в ряд с другими интуиционистами. Более того, Гильберт резко возражал интуиционизму, например, по вопросу, имеющему ключевое значение, — об отказе от закона исключенного третьего [63]. Перестройку оснований математики Гильберт осуществлял с помощью финитного метода, который, однако, в каком- то смысле был по духу близок интуиционистскому пониманию допустимых методов в математике. Вероятно, именно это обстоятельство и послужило основанием для упоминания Н. Н. Лузиным имени Д. Гильберта.

8. Вейль Г. (1885—1955) — известный немецкий математик и физик, видный представитель интуиционизма.

9. Борелъ Э. (1871—1956) — известный французский математик, который проповедовал взгляды в духе эффективизма.

10. Как сейчас ясно, в работах Н. А. Васильева содержатся идеи, предвосхищающие не только интуиционистскую логику, но также многозначную и паранепротиворечивую логику.

11. Мотивы написания «Отзыва» не совсем очевидны. Можно предполагать, что он был дан в связи с намерением издать сборник работ Н. А. Васильева. Не исключено, что Н. Н. Лузин познакомился с работами Н. А. Васильева благодаря А. В. Васильеву.

Мерило истины — мгновенье,

Все изменяется, течет. . .

Нет бытия, а есть волненье,

Есть неутихнувший полет.

Нет бытия, и Бесконечность —

Большая глупая спираль. . .

Нет бытия, и даже Вечность

Для нас — пустующая даль.