Периодические орбиты — это траектории, замыкающиеся в нашей вращающейся вместе с Луной системе отсчета после истечения некоторого периода Т. Простейшими периодическими орбитами будут положения равновесия. Ведь точечную траекторию можно считать периодической при произвольном периоде Т. Как показали Л. Эйлер и Ж. Лагранж, в нашей системе существует ровно пять положений равновесия, так называемых точек либрации L1—L5 (рис.10). Три из них, найденные Эйлером, лежат на прямой Земля-Луна. Одна из них, находящаяся между Землей и Луной точка либрации L1, представляет и практический интерес. В будущем ее предполагается использовать как место перевалочной базы при освоении Луны. Точки либрации L1, L2, L3 неустойчивы. Поэтому время от времени необходима незначительная коррекция космического аппарата (КА), находящегося в окрестности L1, во избежание его ухода от L1 на неприемлемое расстояние.

Рис.10

Не исключено и создание базы в одной из открытых Лагранжем точек L4, L5, лежащих в плоскости лунной орбиты и образующих вместе с Землей и Луной два равносторонних треугольника. Это тем заманчивее, что L4 и L5 оказались устойчивыми, в отличие от L1, L2, L3. Неучтенное притяжение Солнца все же может вывести КА из приемлемой окрестности L4 или L5. Так что коррекция орбиты может понадобиться и здесь, но гораздо реже.

Вокруг каждой из точек L1—L5 существуют и «настоящие» периодические орбиты. Траектории вокруг лежащей дальше Луны точки L2, похожие на овал в плоскости, перпендикулярной прямой Земля-Луна, получили особое наименование гало-орбит. В будущем они сыграют важную роль в освоении Луны. На гало-орбитах разместятся спутники-ретрансляторы, позволяющие поддерживать радиосвязь между Землей и базой, расположенной на обратной стороне Луны.

На рис.11 изображена более замысловатая периодическая орбита, показывающая их богатое разнообразие. КА на такой орбите попеременно является то спутником Земли, то спутником Луны.

Рис.11

Задача о движении КА в гравитационном поле Земли и Солнца математически тождественна задаче о движении в поле Земли и Луны. Тут тоже существуют периодические орбиты и точки либрации. Более того, они уже используются на практике. Космический аппарат SOHO для исследования процессов на Солнце находится все время на гало-орбите вблизи точки L1.

Решения задачи о движении объекта в окрестности двух массивных тел оказывается очень полезным, и не только в приложении к Солнечной системе: они используются и при изучении движения вещества в двойных звездных системах, и в звездных скоплениях, и в системах галактик. Но нужно помнить, что все эти полезные решения получены при определенных предположениях. Например, точки Лагранжа существуют в рамках ограниченной задачи: два тела имеют конечные массы (любые; обе массы могут быть даже равны друг другу), а третья бесконечно мала (у нас это космический аппарат). Движение в окрестности коллинеарных точек либрации L1, L2, L3 всегда неустойчиво. Устойчивость движения в окрестности треугольных точек Лагранжа L4, L5 зависит от соотношения между массами основных тел. Обозначим массы основных тел через m1>=m2. Введем безразмерный параметр µ, выражающий отношение этих масс:

µ=m2/(m1+m2)

А.М. Ляпунов доказал, что движение в окрестности треугольных точек либрации устойчиво в первом приближении при 27µ(1—µ)<1, что равносильно условию

µ<µ0=0,0385209.

Для системы Земля-Луна µ<(1/3)/µ0, значит, треугольные точки либрации устойчивы (при отсутствии не учтенных в задаче возмущений!). А вот для системы Плутон-Харон µ>3,7µ0. Устойчивости нет. В системах двойных звезд, как правило, µ>µ0 и движение неустойчиво.

Импульсные перелеты

Итак, у нас в запасе внушительный набор орбит, по которым можно двигаться долго-долго, не затрачивая ни малейших усилий. Но как попасть туда? Будем считать, что мы уже вышли в космос на круговую орбиту искусственного спутника Земли. А теперь нам надо перейти на более высокую орбиту. Тоже круговую и лежащую в той же плоскости. Имея супер-ракету, можно перелететь с орбиты на орбиту множеством способов. Но современные ракеты пока не позволяют развивать скорости в сотни километров в секунду, так что не все способы реализуемы. А поскольку каждый лишний грамм груза на борту — все равно что кирпич в рюкзаке у туриста, из возможных способов следует выбрать оптимальный, т.е. требующий минимального количества топлива.

Реактивные двигатели работают без перерыва несколько минут, тогда как перелеты длятся часы, а межпланетные — месяцы и годы. Так что можно считать без большой ошибки, что космический корабль практически мгновенно получает добавку скорости (как говорят, к аппарату прикладывается импульс скорости). Чтобы уйти с орбиты старта, нужен по крайней мере один импульс 1. Чтобы остаться на орбите финиша — еще один 2. Так называемая характеристическая скорость 1+2, а с ней и расход топлива, будут минимальными, если импульсы прикладывать по касательным (рис.12). Это было доказано еще в 1920-е гг. В. Гоманом в Германии и Ф.А. Цандером у нас.