Вступить в группу можно было строго по приглашению; Гёдель получил его от Шлика в 1926 году и регулярно ходил на встречи до 1928 года — только как слушатель. Когда Гёдель получил приглашение присоединиться к кружку, он был еще студентом, и это много говорит об авторитете, который он имел среди преподавателей.

Темы обсуждений в Венском кружке касались философии науки в целом и языка науки в частности. Также обсуждали математику, в особенности решения проблемы кризиса оснований, предложенные Расселом, Брауэром и Гильбертом. Явно именно там Гёдель приобрел первые глубокие знания о формальной программе.

Участие Гёделя в Венском кружке привело его в 1928 году к окончательному решению посвятить себя математической логике. На следующий год он закончил свою докторскую диссертацию о проблеме, связанной с программой Гильберта (хотя речь еще не шла о знаменитой теореме о неполноте, которую он представил в сентябре 1930 года на конгрессе в Кёнигсберге).

Мориц Шлик — немецкий философ, родился в 1882 году. Он изучал физику вместе с Максом Планком в Берлинском университете; его докторская диссертация, представленная в 1904 году, называлась «Об отражении света в неоднородной среде». Однако Шлинк посвятил свою жизнь не физике, а философии. Его первая научная работа, «Мудрость жизни», была опубликована в 1908 году, а через два года появилось эссе Das Wesen der Wahrheit nach der modernen Logik («Природа истины согласно современной логике»). Через некоторое время Шлинк переключил свое внимание на эпистемологию и философию

науки, и этим темам более не изменял. В 1922 году он занял кафедру философии в Венском университете и в это же время основал Венский кружок как центр для обсуждения новых философских горизонтов, далеких от метафизики и сосредоточенных на эмпиризме. Встречи кружка прекратились в 1936 году, с убийством Морица Шлика студентом университета (некоторые историки утверждают, что студент был психически нездоров, другие — будто он был сторонником нацистов, хотя обе версии не исключают друг друга).

Гёдель представил свою диссертацию в Венском университете 6 февраля 1930 года. В том же году он опубликовал ее в виде статьи. Эта его первая научная публикация появилась в томе 37 (1930) журнала Monatshefte f"ur Mathematik und Physik под заголовком «Полнота аксиом логического функционального исчисления». Теорема, которая в ней доказана, сегодня известна как теорема Гёделя о полноте. В то время она была воспринята как знак выполнимости программы Гильберта.

Чтобы понять теорему Гёделя о полноте, мы должны прежде углубиться в теорию математического доказательства по программе Гильберта. Напомним, что согласно ей нужно найти множество аксиом, которые позволили бы доказать все арифметические истины с помощью рассуждений, проверяемых алгоритмически. Но что точно представляет собой арифметика? Каковы истины, которые мы хотим доказать?

Цель моей теории — установить раз и навсегда определенность математических методов.

Давид Гильберт, «О бесконечности»· (1925)

Арифметика — это область математики, в которой говорится о свойствах сложения и умножения натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...; она включает в себя такие понятия, как простые, совершенные, треугольные или четные числа. Теория образована всеми утверждениями (также называемыми предложениями, или высказываниями), связанными с этими понятиями, например «1 + 1 = 2», «2 — четное число», «5 — простое число», «любое число, делящееся на 4, четное» или «сумма двух нечетных чисел дает в результате четное число». Аксиомы, которые искал Гильберт, были бы множеством базовых истин, из которых можно вывести, при уже изложенных условиях, все остальные истинные арифметические утверждения, в том числе упомянутые выше.

С другой стороны, что означает алгоритмическая проверка справедливости рассуждений, доказывающих эти истины? Это означает, что по крайней мере в начале должно быть возможным так запрограммировать компьютер, чтобы за конечное количество шагов он мог определить, является ли доказательство справедливым. В соответствии с этой идеей мы вводим доказательство в машину, она обрабатывает его по предварительно написанной программе и через некоторое время (возможно, долгое, но в любом случае конечное) говорит нам, справедливо рассуждение или в нем содержится ошибка.

В целом проверка правильности математического доказательства — непростая работа, иногда даже для специалистов. Например, когда в 1995 году Эндрю Уайлс представил свое доказательство последней теоремы Ферма, которому он посвятил семь лет, специалисты, его проверявшие, нашли логический пробел — шаг, который, насколько они понимали, не был должным образом обоснован. Уайлс, естественно, этой ошибки не заметил, и ему потребовался год на ее исправление. В конце концов в 1996 году он представил полное доказательство.