Функция — это правило, которое каждому числу х ставит в соответствие другое число. Оно может совпадать с х или отличаться, но вычисляется однозначно (одному и тому же х не могут соответствовать два разных числа). Правилами могут быть "умножить число х само на себя" или "прибавить 3 к числу х". Для числа 2 первая функция даст значение 4, а вторая — 5. В частности, нас интересуют функции, которые могут быть выражены в терминах сумм, произведений и логических операций.

Пропозициональные функции получили это название, потому что они похожи на функции, но ставят в соответствие не числа, а высказывания. Например, пропозициональная функция "х — четное число" сопоставляет числу 2 высказывание "2 — четное число".

В запись пропозициональных функций мы можем ввести числовые функции, если только они могут быть выражены в терминах сумм, произведений и логических операций. Так, мы можем записать: "х + 3 — простое число" или даже "х^2 делится на 18", и в обоих случаях это полноправные пропозициональные функции.

Теперь рассмотрим определение функции d(x), которая на самом деле вычисляется только для чисел, являющихся кодами пропозициональных функций. Поясним определение на примере. Возьмем код пропозициональной функции, например 171, который, как мы предположили, является числом Гёделя выражения "х — четное число". Далее в этой пропозициональной функции заменим х числом 171. Мы получим высказывание "171 — четное число". Код этого высказывания — d( 171), число, которое диагональная функция назначает числу 171:

171 -> соответствует "х — четное число" -> заменяем х на 171 -> "171 — четное число" -> d(171) — код "171 — четное число".

В первых примерах мы указали, что "171 — четное число" имеет код, равный 61. Следовательно, d(171) = 61. Диагональная функция сопоставляет числу 171 значение 61.

Во втором примере вычислим d(162), где 162 — это код "отделится на 18":

162 -> соответствует "х делится на 18" -> заменяем х на 162 -> "162 делится на 18" -> d(162) — это код "162 делится на 18".

Так как "162 делится на 18" имеет код 103, то d(162) = 103. Все шаги, определяющие диагональную функцию, могут быть вычислены алгоритмически, следовательно, ее определение можно выразить с помощью сумм, произведений и логических операций. Это обстоятельство дает нам право ввести числовую функцию d(x) в выражение пропозициональной функции, точно так же как в предыдущих примерах мы это делали с х^2 или х + 3. Таким образом мы можем рассмотреть выражение "d(x) — четное".

Предположим, что "d(x) — четное" соответствует код 423, и применим эту процедуру для вычисления d(423):

423 —> соответствует "d(x) — четное" -" заменяем х на 423 —" —" "d(423) — четное" —> d(423) — код "d(423) — четное".

Возьмем любое натуральное число, например 25. На его основе построим последовательность чисел, называемую последовательностью Гудстейна для числа 25 (названа в честь Рубена Луиса Гудстейна (1912-1985), английского математика, который впервые ее определил). Для получения второго числа последовательности запишем 25 как сумму степеней числа 2 так, чтобы каждая степень появлялась ровно один раз (1 — это тоже степень числа 2, поскольку 20 = 1):

25 = 24+23+1.

И запишем также каждый показатель степени как сумму степеней числа 2:

25 = 22^2 +22+1 + 1.

Второй член последовательности получается, если заменить каждое 2 на 3 в выражении 222 + 22+1 +1 и затем вычесть 1:

(З3^3 + З3+1 +1) - 1 = З3^3 + З3+1 = 7625597485068

Второе число последовательности Гудстейна для числа 25 — это 7625597485068. Для получения третьего числа заменяем каждое 3 на 4 в З3^3 + З3+1 и вычитаем 1. Получается 44 + 44+1 – 1, операция, которая в результате дает число из 155 цифр. Прежде чем перейти к следующему шагу, надо записать 44 + 44+1– 1 как сумму степеней числа 4, в которой каждая степень появляется самое большое 3 раза и в которой показатели степени также являются суммой степеней числа 4. Заметьте, что 44 + 44+1 – 1 не записано таким образом, поскольку присутствует вычитание. Правильная запись:

44 + 44 + 44 + 44 + 41+1+1 + 41+1+1 + 41+1+1 + 41+1 + 41+1 + 41+1 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1.

Чтобы получить четвертое число, заменим каждое 4 на 5 и вычтем 1. То есть:

55 + 55 + 55 + 55 + 51+1+1 + 51+1+1 + 51+1+1 + 51+1 + 51+1 + 51+1 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1.