Проблема энергетики все еще занимала значительную часть его времени, но в 1896 году в адрес Больцмана поступило намного более серьезное с научной точки зрения возражение; даже сегодня не до конца ясно, кто выиграл спор, хотя в научной практике нет сомнений в том, что это был Больцман. Новым соперником оказался Эрнст Цермело (1871-1953), позже ставший известным своей ролью в развитии теории множеств, в то время работавший ассистентом Планка.

Возражение, которое сформулировал Цермело, сегодня известно как "парадокс рекурсивности" и основывается на самом деле на теореме, провозглашенной Анри Пуанкаре (1854-1912) шестью годами ранее. Однако за открытие этой идеи следует воздать должное Фридриху Ницше (1844-1900), который за десять лет до того пришел к тем же выводам другими средствами. Немецкий философ верил в то, что стали называть "вечным возвращением", в идею, согласно которой Вселенная проходит через одно и то же состояние снова и снова, так что вся история существования точно повторяется бесконечное число раз.

Самый значительный вклад немецкого математика Эрнста Цермело связан с аксиоматизацией теории множеств.

Теория множеств — это область математики, изучающая свойства множеств, и уже первые ее версии содержали парадоксы. Так, она давала противоречивые ответы на вопрос:

"Содержит ли множество всех множеств само себя?" Аксиоматизация состоит в том, чтобы сформулировать ряд утверждений, называемых аксиомами, которые не требуют доказательства.

На их основе можно вывести остальной теоретический корпус. Цермело создал аксиоматическую систему для теории множеств, которая была лишена противоречий. Его система, измененная несколькими годами позже Абрахамом Френкелем (1891-1965), породила систему Цермело — Френкеля, которая используется по сегодняшний день.

Утверждение Ницше не имело мистической природы и базировалось не на призрачных аргументах; он несколько лет изучал физику, чтобы обосновать свой принцип. И пусть его доказательство не обладает математической строгостью, как более позднее доказательство Пуанкаре, в общих чертах оно верно. Некоторые авторы утверждают, что на самом деле оно настолько же справедливо, как и доказательство Пуанкаре, но в распоряжении Ницше не было математических инструментов, необходимых для доказательства гипотезы, хотя не исключено, что это преувеличение. Ницше рассматривал вечное возвращение так:

"Если Вселенную можно расценивать как определенное количество энергии, как определенное число центров энергии, (...J то из этого можно сделать вывод, что Вселенная должна пройти через исчисляемое количество сочетаний [...]. В бесконечности, рано или поздно, все возможные сочетания должны были бы возникнуть; причем бесконечное число раз".

Использование термина "энергия" в анахроническом смысле делает формулировку Ницше сложной, но его аргумент прост: если существует ограниченное число материи (или энергии) во Вселенной и если она конечна в пространстве, тогда число возможных сочетаний материй обязательно конечно. Если время бесконечно, то сочетания обречены на то, чтобы повторяться бесконечное число раз. Подобное объяснение, но с использованием математических терминов, было дано Пуанкаре десять лет спустя. На рисунке показано это же утверждение: дискретная система, такая как множество из девяти квадратов, где один закрашен, имеет конечное число состояний и возвращается к начальному состоянию самое большее после прохождения через все возможные конфигурации.

Возражение Цермело Больцману заключалось в следующем: Больцман утверждает, что может доказать, что величина Н — энтропия с отрицательным значением — всегда уменьшается. Но в теореме Пуанкаре доказывается: при данном достаточном времени любое сочетание атомов снова повторится, и, значит, произойдет возвращение к изначальной энтропии. Следовательно, утверждение Больцмана не может быть верным.

Больцман, истощенный противостоянием энергетикам и слабым здоровьем, ответил довольно едко. Он начал свой ответ словами: "теорема Пуанкаре, на которой основаны комментарии Цермело, явно верна, но ее применение к теории тепла, сделанное Цермело, неверно". Для обоснования своего утверждения он привел следующие аргументы:

"Природа кривой Н (энтропии относительно времени), которую можно вывести из кинетической теории, такова, что если начальное состояние значительно отклоняется от распределения Максвелла, то оно будет стремиться к этому распределению с высокой степенью вероятности и в течение чрезвычайно долгого времени будет отклоняться от него только в невероятно малых количествах. Если подождать достаточно долго, начальное состояние рано или поздно снова возникнет, но время рекурсии столь велико, что нет никакой возможности когда-либо его наблюдать".

Больцман приходил к выводу, что "статья Цермело показывает, насколько неправильно были поняты мои работы; в любом случае, мне она приятна, так как, кажется, это первый признак того, что кто-то в Германии обратил на них внимание". Его ответ был ясен: Цермело прав в том, что начальная конфигурация повторится, но ошибается, думая, что это делает недействительной теорию, которую он развил. Теория Больцмана предсказывала не только эти повторения, но и то, что они будут происходить на таких больших промежутках, что их никогда нельзя будет наблюдать, поэтому на практике никто никогда не будет наблюдать уменьшения энтропии.