Шрифт:
V
=
m
rr'
(r'-r)
.
(1)
Если расстояние между полюсами ds очень мало, можно положить
r'-r
=
ds
cos
,
(2)
где - угол между вектором, направленным от магнита в точку P, и осью магнита. В пределе получим
V
=
mds
r^2
cos
.
(3)
Магнитный момент
384. Произведение длины стержневого магнита, однородно и продольно намагниченного, на мощность его положительного полюса называется Магнитным Моментом магнита.
Интенсивность намагниченности
Интенсивность намагниченности магнитной частицы определяется как отношение её магнитного момента к объёму. Мы будем обозначать её буквой I.
Намагниченность в любой точке магнита может быть определена по её интенсивности и направлению. Направление можно задать с помощью направляющих косинусов , , .
Составляющие намагниченности
Намагниченность в какой-либо точке магнита, будучи вектором или направленной величиной, может быть выражена через три её составляющих, отнесённых к осям координат. Назовём их A, B, C:
A
=
I
,
B
=
I
,
C
=
I
.
(4)
Абсолютное или численное значение величины I задаётся уравнением
I^2
=
A^2
+
B^2
+
C^2
.
(5)
385. Если рассматриваемая нами часть магнита есть дифференциальный элемент объёма dxdydz, а I - интенсивность намагниченности этого элемента, то его магнитный момент равен Idxdydz. Подставляя его вместо mds в уравнение (3) и помня, что
r cos
=
(-x)
+
(-y)
+
(-z)
,
(6)
где , , - координаты конца вектора r, выходящего из точки (x,y,z), для потенциала в точке (,,), обусловленного намагниченным элементом, находящимся в (x,y,z), найдём
{
A(-x)
+
B(-y)
+
C(-z)
}
1
r^3
dx
dy
dz
.
(7)
Чтобы получить потенциал, создаваемый в точке (,,) магнитом конечных размеров, необходимо найти интеграл от этого выражения по всем элементам объёма, входящим в пространство, занятого магнитом, т.е.
V
=
{
A(-x)
+
B(-y)
+
C(-z)
}
1
r^3
dx
dy
dz
.
(8)
После интегрирования по частям получаем
V
=
A
1
r
dy
dz
+
B
1
r
dz
dx
+
C
1
r
dx
dy
–
–
1
r
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
dx
dy
dz
,
где двойной интеграл в первых трёх членах берётся по поверхности магнита, а тройной интеграл в четвёртом члене - по его объёму.
Обозначим через l, m, n направляющие косинусы нормали, направленной из элемента поверхности dS наружу, тогда, как и в п. 21, для суммы первых трёх членов можно написать
(
lA
+
mB
+
nC
)
1
r
dS
,
где интегрирование распространяется на всю поверхность магнита.
Если ввести теперь новые обозначения и , определив их с помощью равенств
=
lA
+
mB
+
nC
,
=-
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
,
то выражение для потенциала может быть записано в виде
V
=
r
dS
+
r
dx
dy
dz
.
386. Это совпадает с выражением для электрического потенциала, создаваемого телом, на поверхности которого существует электризация с поверхностной плотностью и одновременно во всём веществе которого имеется объёмная электризация с объёмной плотностью . Следовательно, если считать величины и поверхностной и объёмной плотностями распределения некоторого воображаемого вещества, названного нами «магнитной материей», то потенциал, обусловленный ими, будет равен потенциалу, создаваемому истинной намагниченностью всех элементов объёма.