Шрифт:
d
dy
d
dy
–
d
dz
1
r
.
Аналогично можно преобразовать величины a, b.
Следовательно,
F
=
m
d
dy
–
d
dz
1
r
=
m(z-y)
r^3
.
Составляющие G, H можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.
Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности A, B, C в точке (x,y,z) составляющие вектор-потенциала в точке (,,) равны
F
=
B
dp
dz
–
C
dp
dy
dx
dy
dz
,
G
=
C
dp
dx
–
A
dp
dz
dx
dy
dz
,
H
=
A
dp
dy
–
A
dp
dx
dx
dy
dz
,
(22)
где через p для краткости обозначено обратное расстояние между точками (,,) и (x,y,z), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.
406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид
V
=
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
.
(23)
Помня, что
dp
dx
= -
dp
d
и что интеграл
A
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
равен -4(A), когда точка (,,), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (A) - значение A в точке (,,), получаем для x-составляющей магнитной индукции
=
dH
d
–
dG
d
=
=
A
d^2p
dyd
+
d^2p
dzd
–
B
d^2p
dxd
–
C
d^2p
dxd
dx
dy
dz
=
=-
d
d
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
–
–
A
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
.
(24)
Первый член этого выражения равен, очевидно, -dV/d или составляющей магнитной силы .
Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (,,). Легко показать, что второй член равен 4(A), где (A) - значение A в точке (,,); во всех точках вне магнита величина (A) равна нулю.
Теперь можно x-составляющую магнитной индукции записать в виде
a
=
+
4(A)
,
(25)
что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для b и c также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.
Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал V путём применения к нему оператора Гамильтона ; следуя п. 17, можно записать
H
=-
V
,
(26)
это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.
Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал A путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.
Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности