Шрифт:
Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу , тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению
2a
h
,
,
+
b
h
,
,
+
b
h
,
,
+
c
h
,
+
+
c
h
,
+
2d
h
,
,
=
0.
(3.6.3)
Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:
h
,
,
(2a+b)
=
0,
h
,
(b+c)
=
0,
h
,
(c+2d)
=
0.
(3.6.4)
Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что a= 1/2 , мы получаем
a
=
1
2
,
b
=
– 1
,
c
=
1
,
d
=-
1
2
.
(3.6.5)
Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.
3.7. Определение символов
Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.
Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:
X
=
1
2
(
X
+
X
)-
1
2
X
.
(3.7.1)
Для симметричного типа, такого как h, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны
h
=
h
–
1
2
h
,
(3.7.2а)
h
=
h
.
(3.7.2б)
Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.
Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след
h
=
Th(h)
=
h
,
h
=-
h
.
(3.7.3)
Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте
h
,
,
–
2
h
,
,
=-
T
.
(3.7.4)
Для того, чтобы получить соотношение для T, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.
Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:
A
,
,