Шрифт:
4.4. Подробные свойства плоских волн. Эффект Комптона
Мы можем изучить свойства гравитационных волн в отсутствии материи; вариируя лагранжиан, получим уравнение
h
,
,
–
2
h
,
,
=
0,
(4.4.1)
которое аналогично уравнению Максвелла в пустом пространстве. Если мы используем решения типа плоских волн
h
=
e
exp(iq·x)
,
(4.4.2)
то уравнение принимает следующий вид
q^2
e
–
q
q
e
–
q
q
e
=
0.
(4.4.3)
Мы интересуемся случаями, когда q^2/=0 и q^2=0. Если q^2/=0, мы можем разделить на q^2 и переставить члены уравнения так, что
e
=
q
1
q^2
q
e
+
q
1
q^2
q
e
.
(4.4.4)
Такое разделение вектора на два слагаемых в точности выражает вектор e как симметризованный градиент
e
=
,
+
,
.
(4.4.5)
Ранее мы обсудили, как калибровочная инвариантность гравитационного поля означает, что добавление члена такого вида не приводит к отличиям в физике явления. Отсюда следует, что всегда можно добавить некоторый член к e так, что e=0. Мы будем называть такие волны с q^2/=0 ”калибровочными волнами”; эти волны не связаны ни с какими физическими эффектами и могут быть всегда устранены калибровочным преобразованием.
Если q^2=0, то из уравнения (4.3.3) следует, что
q
e
=
0.
(4.4.6)
Это так называемые свободные волны должны удовлетворять лоренцеву калибровочному условию. Дело не только в выборе
h
,
=
0
(4.4.7)
для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина qe должна быть равна нулю.
Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации e в системе координат такой, что 4-вектор импульса равен
q
=
(,,0,0)
.
(4.4.8)
Если мы выбираем
e'
=
e
+
q
+
q
(4.4.9)
и требуем, что e' должна иметь компоненты только в трансверсальном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ
e'
=-
e'
=
1
2
,
e'
=
e'
=
1
2
.
(4.4.10)
Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что e4=-e3, так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являются независимыми. Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помощью преобразования (4.4.9). Например, e'=e+, тогда выберем =-e/, =-e/. Тогда e'=e+-, выберем -=-e/ тогда e'=e'=e'=e'=0. Выбирая =-e/2, сделаем следующую величину равной нулю e'=e+2=0. Тогда, так как величина e' также равна нулю, то след e' равен нулю, следовательно, равны нулю также и e' и e'+e' Поэтому остались ненулевыми среди величин e' только компоненты с индексами , = 1 или 2 и для них e'=-e' Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4.4.10).
Рис. 4.3.
Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы m соответствует диаграммам, изображённым на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором e; для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине -^1p, (^1p+^1q) = (^2p+^2q) и ^2p. На языке этих величин мы имеем для первой диаграммы
4^2
^2
e