Семиотический анализ логических формализмов представляется нам весьма актуальной задачей, однако полный анализ такого рода чрезвычайно громоздок даже для простых формализмов. Здесь мы приведем лишь некоторые наиболее простые и очевидные примеры.

Хорошо известен широко употребляемый в математической логике способ обозначений, согласно которому простое написание некоторой формулы (например Р (х)) есть одновременно утверждение о ее истинности. Таким образом, с самого начала в формуле не отражены необходимые, вообще говоря (см. цитиров. выше работу Виндельбандта), различения суждения и оценки. Это не значит, что указанное различения полностью игнорируется. Однако отсутствие его явной экспликации приводит к заведомой двусмысленности, так как иногда необходимо использовать формулы безотносительно к утверждениям об их истинности (не говоря уже о том, что такое употребление формулы противоречит интуиции).

В случае достаточно сложного текста следить за различением подобных двусмысленностей без наличия большой практики становится очень трудно, да и при наличии таковой возможны логические ошибки. Контекстную зависимость смысла слов естественного языка можно рассматривать, таким образом, как механизм, эффективно препятствующий возникновению подобных трудностей. Кроме того, в естественных языках существуют специальные средства для необходимых семиотических различений, имеющие грамматический (например, артикль) или прагматический характер.

Представляет интерес на нескольких примерах проанализировать с семиотической точки зрения функционирование формально-логических систем. Рассмотрим фрагмент текста работы Гильберта и Аккермана, в котором вводятся аксиомы узкого исчисления предикатов [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 97].

«К этим аксиомам мы присоединим теперь в качестве второй группы две аксиомы для “все” и “существует”»:

Первая из этих аксиом означает «Если предикат F выполняется для всех x, то он выполняется также для любого y».

Вторая формула читается так: «Если предмет F выполняется для какого-нибудь y, то существует x, для которого выполняется F».

Этот текст особенно интересен по следующим причинам:

1. В нем вводятся аксиомы.

2. Поясняется их естественно-языковое содержание, т.е. вводится способ понимания знаковой системы.

По замыслу основателей математической логики «…чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].

Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.

Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:

знак F (y) в формулах e) и f) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) – F выполняется для любого y. В f) F выполняется для какого-нибудь y.

По-видимому, различение этих смыслов связано с местом F (y) в формулах – в одном случае – на месте консеквента, в другом – на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.

Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под x и y. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а y – актуальный.

Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.

К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.

В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].

«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).

r (отношение ранга I); ¬)(отрицание).

Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.

Ярлык любого выражения Р – это *Р* (Р в кавычках).

Экспонат любого выражения Р – это Р *Р* («вещь с ярлыком»).

Формулы – это выражения вида r E… E *P* и ¬ r E … E *Р*.

Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:

r Ек *Р* или ¬ r Ек *Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно: