,

(4.36)

где E — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.

При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует

H

=

2

0

B

(T)

E

d

,

(4.37)

или

H

=

4h^3

c^2

0

Ed

eh/(kT)– 1

.

(4.38)

Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами T и . В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения . Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае =, а связь между T и даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].

В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем

I

(0,)

=

2h^3

c^2

0

e

– sec

sec d

exp

h

1

+

3

– 1/4

– 1

kT

e

2

4

(4.39)

и

H

=

4h^3

c^2

0

E d

exp

h

1

+

3

– 1/4

– 1

kT

e

2

4

(4.40)

где использована формула (4.20).

Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.

H

2h^3

c^2

1

eh/(kTe)– 1

(4.41)

Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты .

Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов A и B. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.

Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).

4. Зависимость температуры и плотности от глубины.

Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).

Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия

dp

=-

g

dr

,

(4.42)

где p — давление, — плотность и g — ускорение силы тяжести в фотосфере.

Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа: