Указанные выше две пары дружественных чисел фактически не являются второй и третьей, по величине входящих в них чисел, так как многие гораздо меньшие пары дружественных чисел были пропущены и вторая пара по величине: 1184 и 1210, а пара 17 296 и 18 416 стоит в последовательности на восьмом месте. Пару дружественных чисел 1184 и 1210 пропустили Ферма, Декарт и Эйлер, а обнаружил ее в 1866 году 16-летний итальянский школьник – Никколо Паганини – полный тёзка великого скрипача. Школьник потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа. Вот так делаются открытия во множестве натуральных чисел!

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. В различных источниках называется разное количество найденных пар дружественных чисел, где-то называют 400, где-то 1100 пар, а в Википедии сказано, что на апрель 2016 года известно более миллиарда пар дружественных чисел. Среди них преобладают пары четных чисел, но встречаются и нечетные пары, например седьмая пара: 12 285 и 14 595. Пока не найдена четно-нечетная пара, и поэтому неизвестно, существует ли такая смешанная пара дружественных чисел. Неизвестно существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел.

На стыке теории чисел и геометрии рассмотрим так называемые фигурные числа. Это понятие было введено последователями Пифагора. Они представляли собой некое философско-религиозное сообщество, занимавшееся многими науками, в частности они изучали свойства чисел. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел.

Линейные числа – числа, не разлагающиеся на сомножители большие единицы, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … .

Плоские числа – числа, составные, представимые в виде произведения двух сомножителей больших единицы: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … .

Телесные числа – числа, представимые произведением трёх сомножителей больших единицы: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, … .

Эти определения приводятся в «Началах» Евклида. Мне не очень нравится, что при подобном подходе многие числа попадают одновременно в два различных вида. Например, 8=2·4=2·2·2, 12=2·6=3·4=2·2·3, 18=2·9=3·6=2·3·3 и так далее.

Многоугольные числа – числа, ассоциированные с определённым многоугольником, которые соответствовали количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры – треугольника, квадрата и так далее. Про точки может быть не совсем корректно говорить, так как в математике точка – это абстрактное понятие, не имеющее линейных размеров, поэтому будем подразумевать некие круглые фишки одинаковых размеров, из которых и выкладываются геометрические фигуры. Ряд фигур будем начинать с одной фишки, а затем достраиваем до равностороннего треугольника со стороной в две фишки, в три фишки и так далее.

Получаем треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … . Треугольные числа можно получить и без геометрической интерпретации посредством последовательного суммирования чисел натурального ряда: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, … . Формула для получения n– го треугольного числа: Pn(3)=(n(n+1))/2. Сумма двух последовательных треугольных чисел дает полный квадрат: Pn(3)+Pn+1(3)=(n+1)2. Четность элементов последовательности меняется с периодом 4: нечетное, нечетное, четное, четное.

Извините, формулы получаются написанными коряво, так как конвертер издательства не принимает и не распознает формулы, красиво сделанные во встроенном редакторе формул, и приходится изощряться, чтобы написать их в Worde просто с клавиатуры. В результате остается только изображение в строчку, красота формулы теряется.

Получение квадратных чисел можно иллюстрировать построением квадратов с последовательным увеличением длины стороны квадрата: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … .

С алгебраической точки зрения они представляют собой квадраты чисел натурального ряда, но могут быть интерпретированы и как результат последовательного суммирования нечетных чисел натурального ряда: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25. Формула для получения n– го квадратного числа Pn(4)=n2. Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел: 4=1+3, 9=3+6, 16=6+10, Pn(4)=Pn– 1(3)+Pn(3). До сих пор не доказана гипотеза Лежандра (1808 год): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. Не доказана, но и не опровергнута.