Частным случаем плоских чисел являются прямоугольные числа, являющиеся произведением двух последовательных натуральных чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, … .

Прямоугольные числа представляют собой удвоенные треугольные числа: Pn(np)=n(n– 1).

Вернемся к правильным многоугольникам. На очереди пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, … .

Формула для получения n– го пятиугольного числа: Pn(5)=(n(3n– 1))/2.

Далее идут шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, ….

Формула для получения n– го шестиугольного числа: Pn(6)=2n2– n. Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: Pn(6)=P2n– 1(3).

Можно было бы продолжать бесконечно, рассматривая прочие многоугольные плоские фигурные числа, но нужно где-то остановиться. Пусть это будут шестиугольные числа.

Выйдя из плоскости можно рассмотреть трехмерные правильные фигурные числа. Пирамидальные числа возникают при складывании маленьких шаров одинакового диаметра горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Первые из них тетраэдрические числа – это фигурные числа, которые представляют собой пирамиду, сложенную из сфер одного диаметра. Каждый слой в такой пирамиде – треугольное число. Наверху один шар, под ним – 3, под теми – 6 и т. д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, … . Пример нескольких первых тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, … . Формула для тетраэдрического числа: Tn(4)=(n(n+1)(n+2))/6.

Затем к пирамидальным числам отнесем квадратные пирамидальные числа, представляющие собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. И далее, далее … .

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125… , то есть это просто кубы натуральных чисел.

В любом рассмотренном варианте фигурных чисел возможны продолжения. Некоторые из них мы отнесли во второй уровень классификации и все равно перебрать это многообразие невозможно. Причем, у каждого из этих видов чисел открыты свои свойства, о которых здесь не рассказано. Целью этой книги не является подробное описание свойств всех существующих групп натуральных чисел. Задача ставится иная: легкими штрихами наметить общую картину, заинтересовать читателя, который возможно сам продолжит рассмотрение понравившегося ему класса чисел, и тогда уж изучит все их свойства по другим источникам, а возможно сделает свои открытия. Вот где простор для тематики ученической проектной деятельности. Каждому ученику поручить исследование отдельного вида чисел, их хватит на целый класс.

Столкнувшись с тем многообразием, которое скрыто в одних только натуральных числах, понимаешь, для чего могла бы пригодиться бесконечная жизнь – изучать эти числа.

С другой стороны, поставьте себя на место древних пифагорейцев. Телевизоров нет, смартфонов нет, развлечений кот наплакал. Поэтому они и развлекались с натуральными числами и достигли в этом таких высот, которые современный человек вряд ли охватит своим умом. Причем учтите, во времена пифагорейцев занимались математикой и философией люди свободные от других забот, не ведающие иного труда, кроме умственного. Даже в умственной деятельности теоретические исследования считались достойными привилегированного класса, а чисто вычислительная, практическая деятельность поручалась низшим сословиям. В наше время нет привилегированных классов и большинству людей не до чисел, ведь жизнь с развитием цивилизации легче не становится. Но как в любой другой области, среди множества людей разумных есть и любители исследовать числа.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности (Эратосфен, Диофант), большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Кардано), выдающиеся умы более позднего времени (Ферма, Эйлер, Гаусс). Все результаты, которых они достигли не описать и в нескольких книгах. В частности Диофант знал формулу, связывающую треугольные и квадратные числа: 8Pn(3)=Pn(4). Были выведены общие формулы представления n– го по порядку k– угольного числа. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую «золотую теорему»: Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

Всякое натуральное число – либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

Всякое натуральное число – либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и т.д.

Полное доказательство этой теоремы сумел дать Коши в 1813 году. Оцените промежуток времени, потребовавшийся для доказательства одной теоремы: с 1637 до 1813 года.

Последние годы в занимательной математике много пишется о числах, имеющих специфическое представление в виде цифр. В первую очередь речь идет о числах – палиндромах. Это понятие пришло в математику из языка, где палиндром (от греч. palindromos – бегущий обратно), слово, фраза или стих, которые могут читаться (по буквам или по словам) спереди назад и с конца вперед, давая одинаковый смысл. В русском языке палиндромами являются, например, такие слова: довод, доход, заказ, радар и другие. Некоторые палиндромы, если их написать печатными буквами, не только читаются одинаково слева направо и наоборот, но обладают осью симметрии, например, поп, потоп, топот. Палиндромы известны во многих языках (например, gig (кабриолет), eve (канун), level (уровень) – в английском), а их история восходит к временам незапамятным. Чтобы не нарушать принятый в книге принцип давать классам чисел название в виде прилагательного, назовем такие числа палинромическими числами.

В математике к понятию палиндрома нужен иной подход, нежели в языкознании, потому что, в отличие от слова, любое число, написанное произвольным набором цифр, имеет право на существование, например, 1234567890987654321 – вполне реальное число. А что в нем еще интересного, в чем его исключительность? Содержательная сторона, изюминка идеи отражения здесь отсутствует, посмотришь на это число, и скажешь: «Ну, и что?». Можно поставить вопрос так: найти квадраты целых чисел, которые неизменно читаются как слева направо, так и наоборот. Некоторые из них найти легко: 112=121, 1112=12321, 11112=1234321. Все получившиеся числа палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему девяти. Есть и другие случаи, но их найти труднее, например, 2642=69696, 8362=698896, 22852=5221225. Одним вопросом намечено целое направление для поиска числовых палиндромов с определенным смыслом. Есть палиндромы и среди кубов, например 113=1331, причем в большинстве случаев, если куб – палиндром, то и кубический корень из него – тоже палиндром. Поиск палиндромов среди пятых степеней, пока не дал результатов. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел палиндромов вида xk при k>4 . Ее тоже кому-то нужно доказать или опровергнуть. Другой вопрос – сколько существует простых чисел палиндромов. Среди первых пятидесяти простых чисел я нашел шесть палиндромов: 11, 101, 131, 151, 181, 191. Сколько их всего – неизвестно! Высказывалось предположение о том, что простых чисел палиндромов бесконечно много, но эта гипотеза пока не доказана. Таким образом, в математике числовые палиндромы кроме своей специфической записи должны обладать каким-то еще интересным свойством, чтобы заслуживать внимание.