Шрифт:
2. SIR– модель (Susceptible-Infectious-Recovered) является упрощенной версией SEIR-модели, где не учитывается состояние подверженных (Susceptible). В этой модели предполагается, что все люди, которые не выздоровели от болезни, уже инфицированы, и нет новых случаев заражения. Таким образом, SIR-модель описывает только два основных состояния популяции: инфицированные (Infectious) и выздоровевшие (Recovered).
Система дифференциальных уравнений для SIR-модели включает три уравнения, описывающих изменение численности каждой группы с течением времени. Первое уравнение описывает скорость изменения числа подвергшихся инфекции, которая уменьшается по мере того, как они выздоравливают и становятся иммунными к болезни. Второе уравнение описывает скорость изменения числа инфицированных, которая зависит от количества подвергшихся инфекции и скорости распространения болезни. Третье уравнение описывает скорость изменения числа выздоровевших, которая зависит от количества инфицированных и скорости выздоровления от болезни.
SIR-модель является полезным инструментом для анализа и прогнозирования эпидемических ситуаций, особенно в случаях, когда нет необходимости учитывать подверженные состояния или когда количество новых случаев заражения невелико. Эта модель может помочь оценить влияние различных факторов на динамику эпидемии и предсказать ее дальнейшее развитие, что позволяет принимать более информированные решения в области общественного здравоохранения.
Рассмотрим пример кода на Python для реализации SIR-модели:
```python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# Определение функции, представляющей систему дифференциальных уравнений SIR-модели
def sir_model(y, t, beta, gamma):
S, I, R = y
dSdt = -beta * S * I
dIdt = beta * S * I – gamma * I
dRdt = gamma * I
return [dSdt, dIdt, dRdt]
# Начальные условия: количество подвергшихся инфекции, инфицированных и выздоровевших
S0 = 0.99
I0 = 0.01
R0 = 0.0
# Временные параметры
t = np.linspace(0, 200, 1000) # Временной интервал: от 0 до 200 дней, 1000 точек
# Коэффициенты модели: скорость передачи болезни (beta) и скорость выздоровления (gamma)
beta = 0.3
gamma = 0.1
# Решение системы дифференциальных уравнений
solution = odeint(sir_model, [S0, I0, R0], t, args=(beta, gamma))
# Построение графика
plt.plot(t, solution[:, 0], label='Подверженные') # Подверженные
plt.plot(t, solution[:, 1], label='Инфицированные') # Инфицированные
plt.plot(t, solution[:, 2], label='Выздоровевшие') # Выздоровевшие
plt.xlabel('Время (дни)')
plt.ylabel('Доля населения')
plt.title('Модель SIR')
plt.legend
plt.grid(True)
plt.show
```
Этот код реализует SIR-модель для моделирования распространения инфекционного заболевания в популяции. Он использует библиотеки NumPy, SciPy и Matplotlib для выполнения численных вычислений, решения дифференциальных уравнений и визуализации результатов.
Комментарии в коде объясняют каждую часть программы: определение функции `sir_model` для системы дифференциальных уравнений SIR-модели, установка начальных условий и временных параметров, решение дифференциальных уравнений с помощью функции `odeint`, построение графика, показывающего изменение численности каждой группы (подверженные, инфицированные, выздоровевшие) с течением времени.
После выполнения кода, мы получаем графики, отображающие динамику эпидемии во времени. В результате мы увидим три кривые, представляющие количество подверженных инфекции (S), инфицированных (I) и выздоровевших (R) с течением времени.
– График для подверженных инфекции (S): На этом графике мы увидим, как количество подверженных инфекции уменьшается с течением времени, поскольку люди заражаются и становятся иммунными к болезни.
– График для инфицированных (I): Этот график показывает, как количество инфицированных меняется во времени. На начальном этапе количество инфицированных может расти, затем оно может достигнуть пика и начать снижаться по мере того, как люди выздоравливают от болезни.
– График для выздоровевших (R): На этом графике мы видим, как количество выздоровевших от болезни растет с течением времени, поскольку инфицированные люди выздоравливают и становятся иммунными к болезни.
Эти графики позволяют нам визуально оценить динамику эпидемии, а также определить основные параметры, такие как скорость распространения болезни и эффективность мер по ее контролю. Это позволяет принимать более обоснованные решения в области общественного здравоохранения для борьбы с эпидемией.
3. SEIRS– модель является вариантом SEIR-модели, которая в свою очередь является математической моделью для изучения распространения инфекционных заболеваний в популяции. В SEIR-модели популяция разделяется на четыре категории: подверженные инфекции (Susceptible), инфицированные (Exposed), инфицированные и инфекциозные (Infectious), и выздоровевшие или имеющие иммунитет (Recovered).