В SEIRS-модели добавляется дополнительная категория – Recovered with temporary immunity, что означает, что выздоровевшие имеют временный иммунитет перед тем, как вернуться в состояние подверженности инфекции. Это позволяет учесть факторы, такие как временное уменьшение иммунитета после выздоровления или длительный период времени, когда человек может быть вновь подвержен заражению после излечения.

Одна из ключевых особенностей SEIRS-модели – учет временного интервала между инфицированием и появлением симптомов заболевания. Этот интервал может варьироваться в зависимости от конкретного инфекционного заболевания и может быть важным фактором при прогнозировании распространения болезни и планировании мер по ее контролю. В целом, SEIRS-модель предоставляет более реалистичное описание динамики распространения инфекционных заболеваний в сравнении с более простыми моделями, не учитывающими временные аспекты и динамику иммунитета в популяции.

Давайте представим, что у нас есть небольшая популяция, состоящая из 1000 человек, и они подвержены вспышке инфекционного заболевания, например, гриппа. Мы будем использовать SEIRS-модель для иллюстрации динамики этой вспышки.

Начальные условия: Первоначально, все 1000 человек в популяции считаются подверженными инфекции (Susceptible).

Ввод параметров: Мы определяем параметры модели, такие как коэффициент передачи инфекции, коэффициент инкубационного периода, коэффициент выздоровления и длительность временного иммунитета.

Экспозиция (Exposed): Некоторые из подверженных инфекции начинают инкубационный период, в течение которого они инфицированы, но еще не заразны для других. Допустим, в первый день 50 человек становятся экспонированными (Exposed).

Инфекция (Infectious): По прошествии определенного времени после инкубационного периода, экспонированные становятся инфекциозными и могут заразить других. Предположим, что каждый инфицированный в среднем заражает 1,5 человека.

Выздоровление (Recovered with temporary immunity): После некоторого времени инфицированные выздоравливают и приобретают временный иммунитет к болезни. Например, допустим, что средняя продолжительность болезни составляет 7 дней.

Потеря временного иммунитета: После определенного времени временный иммунитет уменьшается, и ранее выздоровевшие снова становятся подверженными инфекции.

Повторение цикла: Процесс повторяется, пока большинство популяции не будет либо заражено, либо приобретет иммунитет.

Модель позволяет нам проследить динамику распространения болезни во времени, учитывая временные аспекты, такие как инкубационный период и временной иммунитет, что делает ее более реалистичной и полезной для прогнозирования и управления эпидемиологической ситуацией.

Рассмотрим пример простой реализации SEIRS-модели на языке Python с использованием библиотеки `numpy` для вычислений и `matplotlib` для визуализации:

```python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def seirs_model(beta, sigma, gamma, delta, susceptible, exposed, infectious, recovered, days):

N = susceptible + exposed + infectious + recovered

S = [susceptible]

E = [exposed]

I = [infectious]

R = [recovered]

for _ in range(days):

new_exposed = beta * S[-1] * I[-1] / N

new_infectious = sigma * E[-1]

new_recovered = gamma * I[-1]

new_susceptible = delta * R[-1]

susceptible -= new_exposed

exposed += new_exposed – new_infectious

infectious += new_infectious – new_recovered

recovered += new_recovered – new_susceptible

S.append(susceptible)

E.append(exposed)

I.append(infectious)

R.append(recovered)

return S, E, I, R

# Параметры модели

beta = 0.3 # Скорость инфекции

sigma = 0.2 # Скорость инкубационного периода

gamma = 0.1 # Скорость выздоровления

delta = 0.05 # Скорость временного иммунитета

susceptible = 990

exposed = 10

infectious = 0

recovered = 0

days = 160

# Запуск модели

S, E, I, R = seirs_model(beta, sigma, gamma, delta, susceptible, exposed, infectious, recovered, days)

# Визуализация результатов

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(S, label='Susceptible')

plt.plot(E, label='Exposed')

plt.plot(I, label='Infectious')

plt.plot(R, label='Recovered')

plt.xlabel('Days')

plt.ylabel('Population')

plt.title('SEIRS Model')

plt.legend

plt.grid(True)

plt.show

```

Этот код создает функцию `seirs_model`, которая моделирует SEIRS-модель в течение определенного количества дней. Затем задаются параметры модели и вызывается функция `seirs_model` с этими параметрами. Результаты моделирования визуализируются с помощью библиотеки `matplotlib`.